Producto de los números de Fibonacci

Question

Estoy buscando la aproximación asintótica del producto de la primera $n$ números de Fibonacci.

¿Existe una estrecha aproximación para este tipo de cosas?

Answer 1

Por la fórmula de Binet,

$$F_n\approx\frac{\phi^n}{\sqrt5}.$$

Luego multiplicando el $n$ primeras estimaciones

$$P_n\approx a\frac{\phi^{n(n+1)/2}}{\sqrt5^n}.$$

Por computación numérica, $a\approx 1.22674201072$.

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Podemos deducir una expresión para la media geométrica

$$\sqrt[n]P_n\approx\frac{\phi^{(n+1)/2}}{\sqrt5}\approx\frac{F_n}{\sqrt{5\phi}}.$$