Si dos elementos a,b, tienen un mcd, ¿ entonces a*t,b*t también tienen un mcd?

Question

Deje $M$ ser un conmutativa cancellative monoid. Para los elementos $a,b \in M$ un mcd de a $a,b$ es un elemento $\mathrm{gcd}(a,b)$ el (universal) de la propiedad $\forall c \in M (c |\mathrm{gcd}(a,b) \Leftrightarrow c|a \wedge c|b)$.

Suponga que $a,b,t \in M$ son elementos que $\mathrm{gcd}(a,b)$ existe. ¿Entonces también se $\mathrm{gcd}(at,bt)$ existen?

Si existe, entonces se da necesariamente por $\mathrm{gcd}(a,b)t$. Pero curiosamente no puedo demostrar que $\mathrm{gcd}(a,b)t$ satisface la definición de la propiedad de $\mathrm{gcd}(at,bt)$ sin asumir que $\mathrm{gcd}(at,bt)$ ya existe. Ver mi respuesta aquí (Lema 1). Por lo tanto, sospecho que la respuesta a mi pregunta es "no" y, de hecho, hay ejemplos donde $a,b$ tienen un mcd, sino $at,bt$ no. Yo prefiero ejemplos de la forma $M = R \setminus \{0\}$ integral dominios $R$.

Answer 1

Considere un ejemplo similar a una OP en un ya eliminado de respuesta, donde $M$ es la conmutativa monoid generado por $x,y$ con la sola relación $x^2=y^2.$ Ahora vamos a $a=x,\ b=y$, de modo que $\gcd(a,b)=1.$ Vamos también a $t=x.$ Ahora aquí es donde tengo que confiar en el OP de la instrucción que, si $\gcd(at,bt)$ existe, entonces es necesariamente $\gcd(a,b)t$. [Que parece bien a mí, pero yo no tengo esa prueba todavía para mí. Nota: Daniel Fisher amablemente ha incluido una prueba de esto en un comentario.]

Con nuestras definiciones de $a,b,t$ esto significa que el$gcd(x^2,yx)=x.$, Pero luego tenemos a $y|x^2$ $y|yx,$ sin tener $y|x.$ [Nota de que Daniel Fischer señaló anteriormente le había terminado de forma incorrecta.]