Una pregunta sobre ultrapower

Question

Supongamos $\kappa_0$ es un cardinal medible y $\mu_0$ es una medida normal en $\kappa_0$. $M_1$ es el colapso transitivo de $Ult(V,\mu_0)$, $j_{0,1}:V\rightarrow{M_1}$ es el elemental de la incrustación inducida por el ultrapower. En $M_1$, $\kappa_1=j_{0,1}(\kappa_0)$ es un cardinal medible y $\mu_1$ es una medida normal en $\kappa_1$ $M_1$ tal que $\mu_1$ no está en el rango de $j_{0,1}$. $M_2$ es el colapso transitivo de $Ult(M_1,\mu_1)$, $j_{1,2}:M_1\rightarrow{M_2}$ es el elemental de la incrustación inducida por el ultrapower. $j_{0,2}=j_{1,2}\circ{j_{0,1}}$.

Es cierto que: `Supongamos $N$ es un interior modelo, $i:V\rightarrow{N}$ $k:N\rightarrow{M_2}$ son primarias incrustaciones tal que $k\circ{i}=j_{0,2}$. A continuación, $k''N=j_{0,2}''V$ o $k''N=j_{1,2}''M_1$ o $k''N=M_2$"?

Answer 1

Esta es una excelente pregunta interesante! Usted está preguntando si el 2-paso de iteración de una medida normal μ en un cardinal medible κ es únicamente factorizada por los pasos de la iteración en sí.

La respuesta es Sí.

Permítanme indicar κ₀ sólo por κ y j₀₂ j. Desde µ₁ es una medida en M₁, se tiene el el formulario j₀₁(m)(κ), donde m = (ν_α | α < κ). Desde que han dicho que µ₁ no está en ran(j₀₁), se puede elegir el ν_α a ser todos diferentes, y diferentes de µ₀. En este caso, hay una partición de κ como distinto de la unión de X_α, con X_α en ν_α y ninguno en µ₀. Sea x = (X_α | α < κ). Tenga en cuenta que κ no está en j₀₁(X_α) para cualquier α < κ, y de manera similar κ₁ no está en j(X_α). Pero κ es en j₀₁(x)(β) para algunos β < κ₁, ya que esta es una partición de κ₁. Aplicar j₁₂ a la conclusión de que κ₁ es en j(x)(β) para este β. Por lo tanto, hay algunos β en el intervalo [κ, κ₁) tener la forma β = j(f)(κ₁) para la función f que recoge el índice. De esto se sigue de la normalidad de µ₀ que podemos escribir κ = j(g)(κ₁) para alguna función g, ya que cualquier β < κ₁ genera κ a través de j₀₁. En mi favorecido la terminología, la semilla κ₁ genera κ a través de j y de hecho genera todos β [κ,κ₁) a través de j.

De igual manera, supongamos que δ está en el intervalo [κ₁,j(κ)). Sabemos δ = j₁₂(f)(κ₁) para alguna función f en κ₁ en M₁. También sabemos que f = j₀₁(F)(κ) para algunos de F en V. por Lo tanto, δ = j(F)(κ, κ₁). En Y, vamos (α,β) ser el más pequeño de los pares con δ = j(F)(α,β). No puede ser que ambos están por debajo de κ₁, ya que esto sería dentro de ran(j₁₂) y por lo tanto menos pair debe tener β = κ₁. Por lo tanto, δ genera κ₁, que ya hemos observado genera κ.

Para resumir, cada ordinal en el intervalo de [κ₁,j(k)) genera κ₁, que genera todos los números ordinales β [κ,κ₁), ninguna de las cuales generar κ y todos los otros β.

Esto es suficiente para responder a su pregunta. Los k " N en su la pregunta es sólo una arbitraria primaria de la subestructura de M₂ que contiene ran(j), así que supongamos que tenemos Y primaria en M₂ y ran(j) subconjunto Y. El caso Y = ran(j) es uno de sus casos. De lo contrario, Y tiene algo no en ran(j). Cada objeto en M₂ tiene forma j(h)(κ,κ₁) para alguna función h, por lo que mirando el más pequeño de los pares de números ordinales para generar un objeto determinado, con j(h), vemos que no debe ser ordinales a continuación j(κ) en Y. Si Y contiene cualquier ordinal δ en el intervalo [κ₁,j(k)), entonces será contienen κ y κ₁, ya que observó que cualquier δ genera estos ordinales. En en este caso, Y = M₂, ya que los dos ordinales generar todo. Por lo que asumimos que Y no contiene δ. En este último caso, Y debe contener algunos ordinal β en el intervalo [κ,κ₁). Desde cualquier β genera κ, Y contiene todos los números ordinales. De ello se desprende que ran(j₁₂) subconjunto de y y de hecho = S, ya que si Y contenía nada más sería tiene que tener un ordinal δ en [κ₁,j(κ)).

Así hemos visto que los tres casos son la única posibilidades. Y como tu pregunta anterior, no hay ninguna necesidad de asumir que Y o N es de alguna manera internamente definibles.

Por cierto, este fue un problema que tuvo que resolver muchos años atrás de mi tesis doctoral, aunque, tal vez, otras personas habían también pensé en ella. Yo estaba interesado en la comprensión de que los pares de números ordinales (α,β) generar producto las medidas a través de una incrustación j, y esta pregunta es muy relacionado con esto.

(Haga clic en el historial de edición para ver mi respuesta anterior, que era el caso cuando µ₁ está en el rango de j₀₁, un caso para el que la respuesta es no.)