Chebyshev-como polinomios con raíces enteras

Question

Los polinomios de Chebyshev tiene raíces reales y satisfacer a una relación de recurrencia. Me preguntaba si se puede encontrar una secuencia de polinomios con integral o racional raíces con propiedades similares. Más precisamente, se busca una secuencia de polinomios $(f_n),f_n\in\mathbf{Q}[t]$ tal que

1. $\deg f_n\to\infty$ $n\to\infty$;

2. $\sum_{n=0}^\infty f_n(t) x^n$ es (la serie de Taylor de una función racional $F$$x$$t$.

3. Todas las raíces de cualquier $f_n$ se entero y tiene multiplicidad 1. (Una versión más débil: las raíces se les permite ser racional y se les permite tener multiplicidad $>1$ pero debe haber un $a>0$, que el número de distintas raíces de $f_n$ al menos $a\deg f_n$.)

Answer 1

Puedo satisfacer las condiciones 1, 3 y casi satisfacer la condición 2. Dejando $f_n(t) = {t+n-1 \choose n}$ tenemos la conocida generación de función

$\displaystyle \sum_{n \ge 0} f_n(t) x^n = \frac{1}{(1 - x)^{-t}}$

que es racional en la $x$ para cualquier fijo entero valor de $t$. Creo que la condición 2 es la más difícil de satisfacer, porque las funciones racionales son bastante rígidos.

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Edit 1: Mi opinión es que las condiciones no son conste. Basado en la situación análoga lineal homogénea de las recurrencias en los enteros voy a conjeturar que cualquier polinomio de secuencia que obedece a un polinomio lineal de recurrencia y no es esencialmente una serie geométrica tiene términos divisible por polinomios irreducibles de forma arbitraria de alto orden.

Edit 2: Un resultado muy fuerte disponible en el entero caso es Zsigmondy del teorema, pero no necesitamos un resultado de este fuerte. He aquí un buen resultado en el entero caso. Supongamos que un entero secuencia $a_n$ satisface un lineal de recurrencia homogénea con coeficientes enteros, y deje $p$ principal no es dividir los coeficientes. A continuación, la secuencia $a_n \bmod p$ es periódica (no sólo eventualmente periódico) $\bmod p$ por Caja. Si además existe $n$ tal que $a_n = 0$ $a_n$ es ilimitado, entonces se sigue que hay un término distinto de cero de la secuencia divisible por $p$. Por ejemplo, este es el caso de la secuencia de Fibonacci; de hecho, tenemos mucho más fuerte resultado que para $p > 5$, $p | F_{p+1}$ o $p | F_{p-1}$.

Mi conjetura es que un resultado como este se mantiene en el caso polinomial con $p$ reemplazado por un monic polinomio irreducible (es decir, de grado $2$), aunque el argumento anterior se descompone como escrito.

Answer 2

He aquí un pensamiento. Para cada entero k, f_n(k) satisface la relación de recurrencia. Si las raíces de f_n son todos los números enteros, entonces f_n(k) y f_n(k+1) tiene que estar "en sintonía" en el sentido de que ellos nunca tienen signo opuesto. Esta es una condición potente! Por ejemplo, supongamos que las secuencias f_n(k) y f_n(k+1) cada una de las únicas mayor autovalor: a continuación, estos autovalores tendría que tener el mismo argumento.

Actualización: Qiaochu la respuesta sugiere que, de hecho, trabajando mod p sería mejor que el "arquímedes" panorama esbozado, ya que es realmente F_q[t], no Z[t] o Q[t], que es análoga a la de los enteros. Vamos a F_n(t) la reducción de f_n(t) a F_p[t]. Si f_n(t) tiene todas las raíces racionales para cada n, entonces la reducción de f_n(t) mod p tiene la misma propiedad. Pero ahora estamos diciendo algo muy fuertes, que f_n(t) se encuentra en un finitely generado subgrupo de F_q(t)^*! Esto es probablemente descartado por el Albañil del teorema (ABC para la función de los campos.) De hecho, usted probablemente podría demostrar de esta manera que no sólo son las raíces de f_n(t) no es racional, pero f_n(t) tiene irreductible factores de forma arbitraria en gran medida.

No creo que este enfoque daría un toque más difícil pregunta a lo largo de las mismas líneas como este.