Han habido (con éxito) los intentos de utilizar algo distinto de las esferas para homotopy grupos?

Question

Homotopy grupos son famosos los invariantes en topología algebraica. Tienen una gran variedad de maravillosas propiedades:

• Para $n \ge 1$, $\pi_n(X,*)$ es un grupo; para $n \ge 2$, este grupo abelian.
• $\pi_n$ define un functor de base de espacios (abelian) grupos.
• $\pi_n$ es invariante bajo homotopy equivalencias, y homotópica mapas de inducir el mismo morfismos en homotopy grupos.
• El Seifert–van Kampen teorema permite calcular el grupo fundamental de $X \cup_A Y$.
• Un fibration $F \E \a B$ rendimientos de una larga secuencia exacta de homotopy grupos.
• Hay una natural suspensión de morfismos $\pi_n(X) \a \pi_{n+1}(\Sigma X)$, y finalmente se estabiliza como se describe por el Freudenthal suspensión teorema.
• Si $f : X \a Y$ es un mapa entre dos CW-complejo que induce un isomorfismo en todos los homotopy grupos, entonces es una homotopy de equivalencia.
• La Whitehead producto dota $\pi_*(X)$, con una desplazado a la Mentira de álgebra de la estructura.
• Etc., etc.

Pero después de todo, $\pi_n(X,*)$ es "simplemente" el conjunto de morfismos en el homotopy categoría de punta espacios de la $$n-esfera a $X$: $\pi_n(X,*) = \hom_{\mathsf{hTop}_*}((S^n,*), (X, *))$. Este siempre me ha parecido un poco "sesgada" a mí; esferas se les da un papel preponderante en la definición. Ellos son sin duda fundamentales, el tipo de espacios, pero no son todos los que hay en la vida. Así que mi pregunta es:

Han habido (con éxito) los intentos de utilizar algo distinto de las esferas para homotopy grupos, de manera que alguna parte de la estructura descrita anteriormente se conserva (en una forma u otra)?

Por ejemplo, tal vez estoy interesado en totalmente desconectados de los espacios, y me gustaría considerar algo así como $\{ [0,1]^n \cap \mathbb{Q} \X \}$ (con condiciones de frontera) hasta "homotopy". Y hasta aquí vemos esferas (o al menos Euclidiana espacios) al acecho en el fondo: la definición de un homotopy implica una ruta $[0,1] \Y^X$, así que ¿por qué no considerar "homotopies" del tipo $[0,1] \cap \mathbb{Q} \Y^X$...? Uno de los problemas que podrían surgir aquí es que $[0,1] \cap \mathbb{Q}$ no es compacto, así que mucha de la teoría que se va fuera de la ventana.

O tal vez estoy interesado en lo que sucede en dimensión infinita, así que ¿por qué no sustituir las esferas con algunos compactification de un infinito dimensional espacio de Banach, por ejemplo? No tengo idea de lo que tal cosa se vería.

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Hasta ahora, he hallado tres cosas en esta dirección:

• Homotopy grupos con los coeficientes de reemplazar la esfera, con un Moore espacio $M(G,n)$ (es decir, un espacio con un único distinto de cero reducido grupo de homología). Una esfera es, en particular, de Moore espacio de tipo M $(\mathbb{Z},n)$. Lamentablemente, tales Moore espacios no son, en general, co-H-espacios, por lo que $[M(G,n), X]$ no es un grupo, simplemente con la punta de su conjunto. Una referencia para este parece ser Weibel K-libro, pero por lo que puedo decir de ellos sólo se utiliza como motivación para la definición de la K-teoría con coeficientes (no he tenido la oportunidad de leer el libro en detalle).
• Hazewinkel, en Enciclopedia de las Matemáticas, menciona algo que se llama "toroidal homotopy grupos". No he sido capaz de encontrar mucha información acerca de ella en cualquier lugar y me imagino que tiene algo que ver con tori. (No tengo acceso al libro, sólo a un par de páginas en Google Libros (y otras personas pueden incluso no ser capaz de ver las mismas páginas como hago yo))
• La semana pasada vi esta preprint sobre "grandes grupos fundamentales" (el intervalo es aparentemente reemplazado con un intervalo de gran cardinalidad) en el diario arXiv correo electrónico, que creo que me empujó hacia esta pregunta.

Answer 1

Pero después de todo, $\pi_n(X,*)$ es "simplemente" el conjunto de morfismos en el homotopy categoría de punta espacios de la $$n-esfera a $X$: $\pi_n(X,*) = \hom_{\mathsf{hTop}_*}((S^n,*), (X, *))$. Este siempre me ha parecido un poco "sesgada" a mí; esferas se les da un papel preponderante en la definición.

Esferas emerge naturalmente de la relación entre homotopy de la teoría y de mayor categoría de la teoría. Un ejemplo de esto es que se podría objetar que el estudio de la $\pi_1$ de alguna manera arbitrariamente escoge $S^1$, pero en realidad puede definir $\pi_1$ sin mencionar $S^1$, utilizando la teoría de cubrir espacios o localmente constante de las poleas. Una definición es la siguiente: $\pi_1(X, x)$ es la automorphism grupo de la functor dado por tomar el tallo de una localmente constante gavilla en $X$ en $x$. Este es un functor en el homotopy categoría razonable de la punta de los espacios y el círculo naturalmente surge como el objeto que representa este functor.

Del mismo modo se puede describir el fundamental de $n$-groupoid $\Pi_n(X)$ de $X$ (lo que sabe sobre los primeros $n$ homotopy grupos) sin mencionar las rutas de todos, el uso de la teoría de las "mayores" localmente constante poleas (localmente constante gavillas de $(n-1)$-groupoids, en lugar de conjuntos).

Si usted cree que de una u otra forma fundamental de $n$-groupoids son razonables las cosas para estudiar (inductiva: si usted cree que homotopies son razonables, entonces usted cree que homotopies entre homotopies son razonables, etc.; esto significa que usted se preocupa por el intervalo $[0, 1]$ pero todavía no obliga a la atención acerca de las esferas), entonces la mayor homotopy grupos emerge de forma natural en varias ocasiones la toma de automorfismos:

• $\pi_1(X, x)$ es la automorphism grupo de $x$ como un objeto en el fundamental groupoid $\Pi_1(X)$,
• $\pi_2(X, x)$ es la automorphism grupo de la identidad de la ruta $x \a x$ como morfismos en los fundamentales de $2$-groupoid $\Pi_2(X)$,

etc. Nada de esto requiere explícitamente hablando de las esferas, pero de nuevo, estos son todos muy natural functors en punta homotopy tipos y esferas representan.

Dicho de otra manera, entre homotopy tipos, el $$n-esfera $S^n$ tiene una característica universal: es la libre homotopy tipo en un automorphism de un automorphism de... de un punto. Estos no son arbitrarias espacios, hemos escogido porque nos gustan; son fundamentales para homotopy teoría de la misma manera que $\mathbb{Z}$ es fundamental para la teoría de grupos.

Answer 2

Los "grandes" homotopy teoría fue definido por primera vez/explorado en un papel de J. Cannon y G. Conner escribí hace varios años. Se trata simplemente de una herramienta construida a entender una especie de generalización de la Hawaiana Pendiente (y su grupo fundamental).

Considerar el punto de compactification de una cantidad no numerable de abiertos (real) de los intervalos. El grupo fundamental de este espacio es demasiado restrictivo, permitiendo sólo un bucle para recorrer countably muchos bucles, mientras que el gran grupo fundamental no tiene ningún tipo de restricción. Por lo que su ventaja sobre el grupo fundamental es simplemente un recuento de problema. Cuando usted está tratando de detectar agujeros en los espacios que tienen demasiado alta cardinalidad, o demasiados puntos de lleno en, o algo así.

Considerar que el largo de la línea, con los extremos identificados--un camino no lo puede hacer todo el camino, pero un "gran camino" puede. Este tipo de problemas surgen cuando se tienen "enormes" de los espacios, y el gran grupo fundamental es una especie de solución.

Answer 3

Me pueden dar información específica sobre el "toroidal" pregunta, que espero que se refiere a:

Homotopy Grupos y Toro Homotopy Grupos Ralph H. Fox Anales de las Matemáticas Segundo De La Serie, Vol. 49, Nº 2 (Abr., 1948), pp 471-510.

Escuché hace años de Brian Griffiths que Fox estaba esperando, pero no tuvo éxito en llegar, una versión superior del Teorema de van Kampen.

Estas versiones están disponibles, e involucrar a los cubos en lugar de esferas; no calcular directamente homotopy grupos, pero algunos homotopy $n$-tipos, y además trabajan en ciertos "espacios estructurados", ya sea filtrada espacios, o $$n-cubos de espacios. Hay presentaciones en mi preprint página (...., París, Galway, Aveiro) si desea obtener más información.

Comentar sobre uno de sus inicial de puntos de bala, al que se refiere el último párrafo se inició en 1965 con la decepción de que el estándar de Seifert-van Kampen teorema para el grupo fundamental de la base de espacios no ceder el grupo fundamental del círculo, EL ejemplo básico de topología algebraica. Eso fue sólo el comienzo de los cálculos fundamentales de los grupos con que el teorema de no hacer frente. Resultó una necesidad de más de un punto de base, por lo tanto groupoids. Ver este mathoverflow discusión sobre el uso de más de un punto base.