No existe necesariamente un holomorphic función?

Question

Este es un viejo qual problema en el que estoy trabajando: Vamos a $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ $C^{\infty}$ función. No existe necesariamente una holomorphic función de $g: \mathbb{C}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{C}$ tal que $f(x)-g(x)$ se desvanece hasta el infinito orden en $0$ $x$ tiende a $0$$[0,1]$?

Para ser honesto, tal vez yo no podía hacer mucho progreso. Traté de escribir Laurent serie de $0$, y el uso de la condición dada, trató a la conclusión de que si ese $g$ existe, debe ser analíticamente extendido a$0$. Entonces, traté de encontrar una $f$ que no puede ser extendida de forma analítica a todo el avión, pero no pudo. Pero, mi razonamiento aquí puede ser muy falso, no estoy seguro. Agradecería cualquier tipo de ayuda. Gracias!

Answer 1

La respuesta es sí, y nos podemos relajar la condición de $f.$ sólo necesitamos asumir $f:(0,1]\to \mathbb {C}$ es continua. Podemos entonces considerar $\tilde {f}(t) = f(1/t),$ que es continua en a $[1,\infty).$ Vamos a extender $\tilde {f}$ a una función continua en todos los de $\mathbb {R}.$

Ahora yo saque un arma grande, Carleman del teorema (uno de ellos de todos modos): Supongamos $\varphi :\mathbb {R}\to \mathbb {C}$ es continua, y $\epsilon:\mathbb {R}\to (0,\infty)$ es continua. Entonces hay toda una función de $g$ tal que

$$|g(t)-\varphi (t)|<\epsilon(t), t \in \mathbb {R}.$$

Es un hermoso resultado. De todos modos, vamos a $\epsilon(t) = e^{-t^2}.$, a Continuación, Carleman dice que hay toda una $g$ con

$$ |\tilde {f}(t)-g(t)|< e^{-t^2}, t \in \mathbb {R}.$$

Vuelta de nuevo a $(0,1]$ y hemos

$$|f(t)-g(1/t)|< e^{-1/t^2}, t \in (0,1],$$

que es más que suficiente en nuestro problema (nota: $g(1/z)$ es holomorphic en $\mathbb {C}\setminus \{0\}).$

Tal vez la $f\in C^\infty([0,1])$ asunción es un arenque rojo, o tal vez hay un mayor acercamiento elemental es el problema, que usa la suavidad.