¿Qué es exactamente un número real?

Question

Esta pregunta puede sonar a filosofía, pero me ha estado molestando durante mucho tiempo, por lo que tengo que hacerla aquí.

La historia se remonta a la primera vez que leí el Cálculo de Apostol, entonces había aprendido lo que es el número real por la forma en que Apostol lo definió como "objetos indefinidos" con algunos axiomas.

Luego había leído a Spivak más tarde (¿o tal vez a Courant? No recuerdo bien. De todos modos, eso es irrelevante para mi pregunta), él utilizó un enfoque diferente para definirlo. Además, había leído otros libros sobre cómo construían los números reales. Muchos autores usaron sus propias maneras geniales.

Entonces, lamentablemente, me encontré con que no entendía lo que era un número real. Veo el árbol, pero no el bosque.

Mi pregunta es : ¿Cuál es el número real al final del día?

En términos más generales: ¿Qué es exactamente un objeto matemático, si puedo construirlo de diferentes maneras? ¿Depende ese objeto matemático totalmente de las propiedades que le doy? o tiene un significado propio que las definiciones que le damos están ligadas a su propia naturaleza? ¿Es igual que cuando modelamos la naturaleza con diferentes modelos en la ciencia?

Answer 1

Básicamente, a los matemáticos no les importa en absoluto lo que un objeto matemático es Sólo nos importa lo que podemos hacer con él (qué operaciones están definidas y cuáles son sus propiedades). Así, un matemático podría construir los números reales como clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy de los racionales, otro podría preferir los cortes de Dedekind. Dado que existe una correspondencia uno a uno entre esos conjuntos de "números reales", preservando todas las estructuras que queremos definir sobre los números reales, el desacuerdo entre ambos es intrascendente.

Answer 2

Me gustaría añadir dos cosas al debate:
1. En primer lugar, si se consideran los conjuntos estándar de números, como los naturales, los enteros, los racionales, los reales y finalmente los complejos, al ser muy formales, no se tiene NINGUNA inclusión $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ . Cada una de estas inclusiones debe entenderse como una incrustación natural: los enteros son clases de equivalencia de pares de los números naturales, sujeto a la relación: $(m,n) \sim (p,q)$ si $n+p=m+q$ (entonces la incrustación es $n \mapsto [(n,0)]$ ), un número racional de la forma $\frac{p}{q}, q \neq 0$ es una clase de equivalencia de pares de enteros (se supone que el segundo entero es distinto de cero), sujeta a la relación $(m,n) \sim (p,q)$ si $np=mq$ (entonces la incrustación es $k \mapsto [(k,1)]$ ), cualquier número real es la clase de equivalencia de alguna secuencia de Cauchy de racionales (como se explica en la respuesta anterior: la incrustación es $q \mapsto [(q,q,q,...)]$ ) y cualquier número complejo es un par de números reales (con la incrustación natural $x \mapsto (x,0)$ ).
2. Como ya habrán notado, lo más dramático es el paso de los números racionales a los reales: para definir un número entero se necesita un par de números naturales, para definir un número racional se necesita un par de enteros, para definir un número complejo se necesita un par de reales pero para definir un número real se necesita infinitamente muchos racionales. Como resultado de esto, el conjunto de todos los números reales ya no tiene el mismo cardinalidad como el conjunto de los números racionales. Pero la principal propiedad que es nueva es la integridad de los reales: a grandes rasgos no se puede hacer ningún análisis sin esta propiedad por lo que la contabilidad es el precio que se paga para poder hacer cualquier análisis serio.

Answer 3

Me gustaría aportar mi granito de arena: Para empezar, los números naturales representan la recta numérica extendida en sentido positivo. Se comportan como esperamos con respecto a la suma y la resta:

• El operador + está definido de tal manera que si tenemos $a$ objetos, y traer otro $b$ objetos, entonces la cantidad dada por $a+b$ es el número de objetos que acabamos teniendo.

• El $\times$ se define de tal manera que si tenemos $a$ filas de $b$ objetos cada uno, entonces la cantidad dada por $a \times b$ es el número de objetos que tenemos en total.

Podemos extender los números naturales hacia el cero y el dominio negativo de forma sencilla (de modo que la resta puede verse como una suma con números negativos). Tenemos que definir la multiplicación de una manera que confundió a algunos matemáticos primitivos, pero desde nuestra perspectiva moderna, suele estar claro que es la forma "natural" de hacerlo.

Los números enteros tienen lagunas, lagunas que sólo se hacen evidentes si intentamos medir cosas continuas (en un sentido aún no definido) en lugar de contar cosas discretas. Es decir, si contamos manzanas, los números enteros no tienen huecos que podamos discernir, pero si intentamos medir la longitud de un lápiz, puede ser más que $6$ pulgadas pero menos de $7$ .

Los racionales son un primer intento de llenar estas lagunas. Con ellos, podemos decir que un lápiz es $6\frac{5}{8}$ pulgadas, y eso (y los racionales en general) será suficiente para cualquier práctico propósito que nos gusta. Los racionales completan a los enteros en el siguiente sentido: si se aplican las operaciones $+, -, \times, \div$ en cualquier combinación finita (que no implique la división por cero) a los enteros, se obtienen los racionales. Nada de lo que hagas en esa dirección dará lugar a algo que no sea racional.

Sin embargo, por supuesto, la gente (me refiero a los matemáticos) acabó interesándose por los números no sólo por su valor práctico, sino por su propio interés. Consideremos un cuadrado de una unidad de lado. Sus diagonales son obviamente más largas que una unidad, pero más cortas que dos unidades. ¿Qué longitud tienen exactamente?

No son números enteros, claramente, pero como seguramente sabes, tampoco son racionales. Son literalmente irracionales, no son expresables como el cociente de dos enteros. Por lo tanto, los reales (los racionales y los irracionales juntos) rellenan los huecos de los racionales del mismo modo que los racionales rellenan los huecos de los enteros. Lo hacen ampliando esas cuatro operaciones $+, -, \times, \div$ a infinito combinaciones. Por ejemplo, el número $\sqrt{2}$ puede representarse como

$$ \sqrt{2} = 1+\frac{4}{10}+\frac{1}{100}+\frac{4}{1000}+\frac{2}{10000}+\cdots $$

donde la elipsis indica que las operaciones de adición y división se extienden al infinito de forma adecuada. Esa transición de lo finito a lo infinito es crucial.

Hay, como has descubierto, muchas formas de definir/construir los reales, y por eso puede surgir la pregunta: ¿Qué reales son los "reales"? Afortunadamente, el problema se resuelve por sí mismo si nos limitamos a preocuparnos sólo de que los reales se comporten de la manera que esperamos que lo hagan -sumando, multiplicando y dividiendo como se espera-, porque resulta que cada una de las construcciones de los reales es equivalente en ese sentido.

Sin embargo, uno podría desesperarse pensando que, una vez más, los reales tienen huecos de la misma manera que los enteros y los racionales. Resulta que eso no es cierto: no hay números entre los reales que no sean ellos mismos reales.

Por supuesto, como bien sabes, los reales tienen un hueco en un sentido diferente. Hemos señalado que si tomamos los enteros y permitimos que se realice aritmética con ellos, acabamos con los reales. Por ejemplo, si elevamos al cuadrado cualquier número entero (o, de hecho, cualquier real), terminamos con otro real. Podemos elevar al cuadrado cualquier real. Sin embargo, lo contrario no es cierto: No podemos, elevando al cuadrado cualquier real, obtener un número negativo. Por lo tanto, debemos introducir el imaginario y luego los números complejos. Éstos, por fin, están completos en el sentido del cierre algebraico.

Answer 4

Un número real puede aceptarse como una noción primitiva o definirse en términos de nociones primitivas "más simples". Un método canónico construye los números reales a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos ZFC. Puede leer más sobre esto en Enderton's Elements of Set Theory.

En última instancia, se trata de una pregunta sobre la filosofía de las matemáticas, y hay varias doctrinas comunes, incluida la que has mencionado sobre la "naturaleza misma" de los objetos matemáticos.

Answer 5

Si hay más formas de definir un objeto, entonces todos estos objetos comparten todas las propiedades importantes que queremos que tengan (aunque puedan ser diferentes). En el caso de los números reales, las diferentes formas de definirlos (derivados de los números racionales a través de series o intersecciones dedekind, etc.) cumplen todos los axiomas deseados de los números reales. como toda la matemática que hacemos con los números reales sólo depende de estos axiomas, basta con tener uno de ellos (o definirlos sólo usando los axiomas).