Rango-nulidad teorema gratis $\mathbb Z$-módulos

Question

De álgebra lineal sabemos que el vector dado espacios $V$, $W$ sobre un campo $k$ y un lineal mapa de $f\colon V\to W$ hemos $$\dim V = \dim \operatorname{im} f + \dim \ker f.$$

Es cierto cuando se considera libre de $\mathbb Z$-módulos (es decir, libre de abelian grupos) en lugar de espacios vectoriales? Dado un homomorphism $f\colon G\to H$ entre la libertad de $\mathbb Z$-módulos, tenemos $$\operatorname{rk}(G) = \operatorname{rk}\operatorname{im} f + \operatorname{rk}\ker f?$$

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Para proporcionar un poco de contexto: Esta pregunta surge al calcular la homología de grupos de libre de los complejos de la cadena, donde tenemos que comprobar si algunas de generación de un núcleo es una base. Utiliza el rango de nulidad teorema gratis $\mathbb Z$-módulos es una atractiva forma de hacerlo.

Answer 1

Aquí es una prueba de que no se trata de ir a través de $\mathbb{Q}$ (y funciona para cualquier PID):

La imagen de $f$ es un submódulo de un módulo, por lo que es libre (desde $\mathbb{Z}$ es un PID). Por lo tanto, la breve secuencia exacta $0 \to \operatorname{ker} f \to G \to \operatorname{im} f \to 0$ se divide, y por lo tanto (de hecho general acerca de la división exacta de secuencias de módulos) $G \cong \operatorname{ker} f \oplus \operatorname{im} f$. El resultado en las filas de la siguiente manera inmediata.

Answer 2

Sí, para morfismos entre la libertad de Abelian grupos esto es. Sólo interpretar la matriz con respecto a alguna base como uno con coeficientes racionales, y el uso de su rango, y el núcleo de la dimensión. Formalmente esto significa la aplicación de la functor de tensoring con los números racionales.

Nota, sin embargo, que mucho de cosas interesantes sobre Abelian grupos implica torsión, que se omite aquí debido a la insistencia de libre módulos. También tenga en cuenta que un módulo pueda tener un adecuado submódulo del mismo rango como a sí mismo. En particular, un endomorfismo tener el kernel de la fila$~0$ no tiene que ser un automorphism (que puede no ser surjective).