Cómo saber si un problema es más difícil que la otra?

Question

He visto en muchos lugares (libros, conferencias, ...) que la gente dice que algún problema no resuelto es más (o mucho más) difícil que la otra, o a veces punto de algún problema como el más difícil. Cómo se sabe la dificultad de llegar a una respuesta cuando no saben la respuesta? Especialmente, citado por Andrew Wiles:

"Entrar en la primera habitación de la mansión y es completamente a oscuras. Te equivocas en torno a chocar con los muebles, pero poco a poco se aprende, donde cada pieza de mobiliario. Finalmente, después de seis meses o así, encontrar el interruptor de la luz, que se enciende, y de repente todo se ilumina. Usted puede ver exactamente dónde estaba. Luego de mudarse a la habitación de al lado y pasar otros seis meses en la oscuridad...

Como un ejemplo de los problemas sin resolver considerar El Milenio Premio Problemas.

Y para mencionar un par de [la contradictoria?] hechos acerca de él :

1 - Instituto Clay de Matemáticas había considerado Conjetura de Poincaré entre los demás, pero se soluciona sólo después de 2 años, la lista fue publicada (o en la mayoría de los 7 años, si tenemos en cuenta Perelman del tiempo de partida de centrarse en el problema).

2 - Michael Atiyah estados de Yang–Mills existencia y la masa de la brecha de ser el más difícil, porque requiere más campos de conocimiento, como un criterio. Mientras que la audición de las personas, en matemáticas, cuando vienen a decir (o decir metafóricamente) el más difícil problema sin resolver usualmente se refieren a la hipótesis de Riemann. También he visto varios textos escritos acerca de que la reclamación por ejemplo la cita de M. C. Gutzwiller :

"El zeta función es, probablemente, la más difícil y misterioso objeto de la matemática moderna ..".

No creo que decidir cual es el más difícil, es un poco ingenuo opinión porque, por ejemplo, casi todos los grandes matemáticos de la historia [esp. Euler, Gauss y de Hilbert] se han negado a pasar mucho tiempo en el Último Teorema de Fermat porque sabían que ellos no van a tener éxito. Pero, ¿cómo lo supo? Me gustaría hablar de Hilbert de la comilla del Último Teorema de Fermat sobre por qué no tratar de resolverlo : "Antes de comenzar debo poner en los tres años de estudio intensivo, y no tengo mucho tiempo para desperdiciar en un probable fracaso." Cómo sabía él que antes de intentarlo por un largo tiempo?

Answer 1

No hay una respuesta definitiva, pero hay un par de maneras que usted puede adivinar lo difícil de un problema.

El signo más evidente de un problema difícil es la fama. Sé que la Hipótesis de Riemann es difícil debido a que miles de personas muy inteligentes han trabajado en él durante un par de cientos de años y que todavía está sin resolver. Aún es posible que una simple prueba existe de que nadie ha pensado, pero no parece probable.

Otro signo de un problema difícil es que implica un montón de cosas que también están sin resolver. Por lo tanto, la generalización de la Hipótesis de Riemann es probablemente más difícil que la Hipótesis de Riemann, a pesar de que todavía es posible la primera prueba de RH será como un corolario de la GRH.

Otro signo es la falta de progresos significativos hacia el problema. El Gemelo Primer Conjetura, mientras que probablemente duro, ha recientemente comenzó a ceder a los ataques por Terry Tao y otros - han demostrado formas debilitadas de la misma, como la afirmación de que existen infinitos primos pares que están a una distancia de menos de $246$ aparte. Para que no me de la tasa el Doble Primer Conjetura es tan difícil como RH.

En el otro extremo del espectro, hay algunas conjeturas de que nadie tiene ni idea de cómo abordar. Mi impresión es que el $P$ vs $NP$ problema es el más difícil de todos los famosos problemas, como no ha habido intentos que se han dado nada remotamente cerca de una solución (por lo que yo sé.) Una prueba inmediatamente implica una gran cantidad de consecuencias que son de todos, también se cree que será muy difícil.

Answer 2

Voy a intentar contestar a esta pregunta de un estudiante de matemáticas de punto de vista :)

Mientras que el estudio de una asignatura Análisis Matemático II - Parte 2 Hemos aprendido cosas de la manera antigua (1900 la teoría como mi nuevo profesor dice) Pero después de fallar el tema tantas veces (una cosa habitual para que el sujeto por tanto a muchos de los estudiantes) Un nuevo profesor llegó con un nuevo plan de estudios. Nueva teoría.Nuevo modo de introducción, el contorno y la superficie de las integrales con formas diferenciales de órdenes superiores. Nueva forma de presentar las cosas viejas. Más difícil de introducir cosas nuevas. Pero cuando ha pasado algún tiempo me di cuenta de la nueva teoría es más Abstracto. Los objetivos de varias cosas con un hit. En vez de probar el Teorema de Stokes puede demostrar General de Stokes y de destino de la mayor dimensión de los espacios.

Fue el que más difícil de probar? Tal vez, tal vez no. La base es más difícil. Los conocimientos necesarios para conocer el teorema es mayor. Pero la gente vio a estos teoremas, los miró, los analizó y descubrió un patrón. Un matemático debe ser muy dotado para reconocer patrones que ocurrió, pero incluso si usted lo reconoce , podría ser sólo tu imaginación, si usted no puede describir el patrón en el lenguaje de las matemáticas.

Dentro de todo, hay maneras de "tener una idea" acerca de ciertos teoremas. La forma en que se declaran. La cantidad de base necesaria para abordar y comprender el teorema y sus componentes.

Su exactamente como Hilbert pone "Antes de comenzar debo poner en los tres años de estudio intensivo, y no tengo mucho tiempo para desperdiciar en un probable fracaso." . Tres años para comprender el teorema y sus componentes. Seguro que en cualquier maniquí puede entender un $x^n + y^n = z^n$, Pero lo que está detrás de eso. Si usted fuera a comenzar ahora ¿por dónde empezar? Hilbert y sabía que la respuesta es una teoría que no queremos enfrentar. Y también, a partir de abordar un determinado problema es subjetiva :) . Algunos problemas de apelación para algunas personas, mientras que a otros no.

Y para el último punto . Algunos problemas son simplemente valiosos si son comprobadas o refutadas. Que dijo: - usted sabe adjudicar de los mejores mentes en el campo están abordando estos problemas como hablamos. Imagina conocer la distribución de los números Primos. Todos los populares de cifrado del sistema podría fallar. Los bancos estarían en peligro. Que dijo que siempre hay una posibilidad de algún gobierno sabe que, pero se niega a compartir :) Aunque es altamente improbable.

Todos los puntos finos y detalles como resultado de un sentimiento personal de un Teorema. Duro sin resolver VS. Menos Duro (de nuevo sin resolver). E incluso eso no quiere decir que el Hard no ser comprobada primero.