Establecer $$f(x)=\frac{e^x}{x+1}-\frac{ex}{4},\,\,g(x)=\frac{ex}{4}-\frac{x-1}{\ln x}.$$ Entonces $$f'(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}-\frac{e}{4}=e\cdot\frac{4xe^{x-1}-(x+1)^2}{4(x+1)^2},$$ y como $e^{x-1}>x$ para todos $x>1$ obtenemos $$4xe^{x-1}-(x+1)^2>4x^2-(x+1)^2>0,$$ desde $x>1$ . Esto demuestra que $f$ está aumentando. Además, $$g'(x)=\frac{x-1-x\ln x}{x\ln^2x}+\frac{e}{4}=\frac{x-1-x\ln x}{x\ln^2x}+\frac{1}{2}+\frac{e-2}{4}.$$ Demostraremos que $g$ también aumenta para $x>1$ Para ello, basta con demostrar que $$x-1-x\ln x+\frac{1}{2}x\ln^2x>0,$$ o, de forma equivalente, $$\ln^2x-2\ln x+2-\frac{2}{x}>0,$$ para $x>1$ .
Establecer $h(x)=\ln^2x-2\ln x+2-\frac{2}{x}$ y supongamos que $h$ tiene una raíz $x_0$ para algunos $x_0>1$ . Desde $h(1)=0$ existe una raíz de $h'(x)=0$ en $(1,\infty)$ . Pero, $$h'(x)=2\frac{\ln x}{x}-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{2}{x}\left(\ln x-1+\frac{1}{x}\right),$$ y la última función no tiene raíces mayores que $1$ , lo cual es una contradicción. Esto demuestra que $h$ tiene un signo fijo en $(1,\infty)$ y como $h$ va a $\infty$ como $x\to\infty$ obtenemos que $h(x)>0$ para $x>1$ .
Así, obtenemos que $g$ también está aumentando. Por lo tanto, $$\frac{e^x}{x+1}-\frac{x-1}{\ln x}=f(x)+g(x)$$ también aumenta, lo que demuestra la desigualdad.