Demuestre esta desigualdad más fuerte con $\frac{e^x}{x+1}-\frac{x-1}{\ln{x}}-\left(\frac{e-2}{2}\right)>0$

Question

Dejemos que $x>1$ demostrar que $$\dfrac{e^x}{x+1}-\dfrac{x-1}{\ln{x}}-\left(\dfrac{e-2}{2}\right)>0$$

Parece que esta desigualdad puede utilizar derivados resolverlo,Pero es feo.puede ayudar？

$$\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{e^x}{x+1}-\dfrac{x-1}{\ln{x}}-\left(\dfrac{e-2}{2}\right)\right)=0$$ y $f(x)=\dfrac{e^x}{x+1},g(x)=\dfrac{x-1}{\ln{x}}$ Pero $$f'(x)=\dfrac{xe^x}{(x+1)^2}>0, g'(x)=\dfrac{\ln{x}-\dfrac{x-1}{x}}{\ln^2{x}}>0$$

Desgraciadamente, no conozco ninguna expresión bonita para esta derivada 1 que pueda ayudar. Agradeceré todas las sugerencias útiles.

Answer 1

(Tengo que admitir que el método de esta respuesta es "feo").

Multiplicando ambos lados por $2(x+1)\ln x\gt 0$ da $$2e^x\ln x-2(x-1)(x+1)-(e-2)(x+1)\ln x\gt 0\tag1$$ Dejemos que $f(x)$ sea el LHS de $(1)$ . Entonces, $$f'(x)=2\left(e^x\ln x+\frac{e^x}{x}\right)-4x-(e-2)\left(\ln x+\frac{x+1}{x}\right)$$ $$g(x):=xf'(x)=2xe^x\ln x+2e^x-4x^2-(e-2)(x\ln x+x+1)$$ $$g'(x)=2e^x\ln x+2xe^x\ln x+4e^x-8x-(e-2)(\ln x+2)$$ $$g''(x)=2e^x\ln x+\frac{2e^x}{x}+2e^x\ln x+2x\left(e^x\ln x+\frac{e^x}{x}\right)+4e^x-8-\frac{e-2}{x}$$ $$h(x):=xg''(x)=4xe^x\ln x+2e^x+2x^2e^x\ln x+6xe^x-8x-(e-2)$$ $$h'(x)=4e^x\ln x+8xe^x\ln x+12e^x+2x^2e^x\ln x+8xe^x-8$$ $$h''(x)=12e^x\ln x+\frac{4e^x}{x}+12xe^x\ln x+28e^x+2x^2e^x\ln x+10xe^x$$ Ahora es fácil ver que $h''(x)\gt 0$ para $x\gt 1$ porque cada término es positivo para $x\gt 1$ .

Ya que tenemos $$h'(1)=20e-8\gt 0,\quad h(1)=7e-6\gt 0,\quad g'(1)=2e-4\gt 0,\quad g(1)=f(1)=0$$ podemos ver que cada uno de $h'(x),h(x),g'(x),g(x),f(x)$ aumenta para $x\gt 1$ y que $h'(x)\gt 0,h(x)\gt 0,g''(x)\gt 0,g'(x)\gt 0,g(x)\gt 0,f'(x)\gt 0,f(x)\gt 0$ para $x\gt 1$ .

Answer 2

Establecer $$f(x)=\frac{e^x}{x+1}-\frac{ex}{4},\,\,g(x)=\frac{ex}{4}-\frac{x-1}{\ln x}.$$ Entonces $$f'(x)=\frac{xe^x}{(x+1)^2}-\frac{e}{4}=e\cdot\frac{4xe^{x-1}-(x+1)^2}{4(x+1)^2},$$ y como $e^{x-1}>x$ para todos $x>1$ obtenemos $$4xe^{x-1}-(x+1)^2>4x^2-(x+1)^2>0,$$ desde $x>1$ . Esto demuestra que $f$ está aumentando. Además, $$g'(x)=\frac{x-1-x\ln x}{x\ln^2x}+\frac{e}{4}=\frac{x-1-x\ln x}{x\ln^2x}+\frac{1}{2}+\frac{e-2}{4}.$$ Demostraremos que $g$ también aumenta para $x>1$ Para ello, basta con demostrar que $$x-1-x\ln x+\frac{1}{2}x\ln^2x>0,$$ o, de forma equivalente, $$\ln^2x-2\ln x+2-\frac{2}{x}>0,$$ para $x>1$ .

Establecer $h(x)=\ln^2x-2\ln x+2-\frac{2}{x}$ y supongamos que $h$ tiene una raíz $x_0$ para algunos $x_0>1$ . Desde $h(1)=0$ existe una raíz de $h'(x)=0$ en $(1,\infty)$ . Pero, $$h'(x)=2\frac{\ln x}{x}-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}=\frac{2}{x}\left(\ln x-1+\frac{1}{x}\right),$$ y la última función no tiene raíces mayores que $1$ , lo cual es una contradicción. Esto demuestra que $h$ tiene un signo fijo en $(1,\infty)$ y como $h$ va a $\infty$ como $x\to\infty$ obtenemos que $h(x)>0$ para $x>1$ .

Así, obtenemos que $g$ también está aumentando. Por lo tanto, $$\frac{e^x}{x+1}-\frac{x-1}{\ln x}=f(x)+g(x)$$ también aumenta, lo que demuestra la desigualdad.