Polinomio Funcional De La Ecuación.

Question

Deje $f(x)$ ser un uno-uno, la función polinomial tal que $f(x)f(y)+2=f(x)+f(y)+f(xy) \ \forall \ x,y \in \mathbb R - \{0\}$, $f(1) \neq 1$, $f'(1)=3$. Encontrar $f(x)$.

He tratado de encontrar el grado del polinomio de la ecuación por el uso adecuado de sustitución, pero no funcionó. También, me encontré con que $f(1)=2$ y, a continuación, lo he sustituido $y=\dfrac{1}{x}$ conseguir $f(x)f(\dfrac{1}{x})= f(x) + f(\dfrac{1}{x})$. Pero no se puede simplificar más. También, la respuesta dada en mi libro es $f(x)=x^3+1$.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

Answer 1

Aquí hay algo para empezar.

Usted sabe que $f(x)$ es una función polinómica, por lo que también es continua. También sabemos que

$$f(x)f(y)+2=f(x)+f(y)+f(xy)$$

si tanto $x$ $y$ son cero. Sin embargo, teniendo ambos $x$ $y$ a acercarse a cero, la ecuación es también cierto para cualquiera de las $x$ o $y$ o ambos son cero.

Sustituto $y=0$. Sustituyendo y resolviendo los rendimientos

$$(f(0)-1)f(x)=2f(0)-2$$

Esto podría ser cierto para todos los $x$ si $f(0)=1$ o si $f(x)=\frac{2f(0)-2}{f(0)-1}$. Esto último haría $f(x)$ un polinomio constante, lo cual está prohibido por $f'(1)=3$. Por lo tanto, $f(0)=1$.

(Después de que terminé mi última edición por el último párrafo, vi que @tampis había hecho básicamente lo mismo con la versión anterior de mi respuesta. Él se merece el debido crédito, pero me hizo escribir esto en mi propio!)

Sustitución Similar para $x=y=1$ da $f(1)=1$ o $f(1)=2$. La primera es la posibilidad de ser falso, por lo $f(1)=2$, como usted ya se encuentra.

Answer 2

Agregar la solución por @Rory Daulton: Set $y=0$ y se obtiene $$f(x)f(0)+2=f(x)+2f(0)$$ With $f(0)=2$ you get $$f(x)=2f(0)-2$$ which contradicts $f^\prime(1)=3$. Thus $f(0)=1$.

EDIT 1: Tome $\partial_x$ desde ambos lados en $$f(x)f(y)+2=f(x)+f(y)+f(xy)$$ which yields $$f^\prime(x)f(y)=f^\prime(x)+yf^\prime(xy)$$ Conjunto $x=1$: $$3f(y)=3+yf^\prime(y)$$ Thus $$3f(y)-3=yf^\prime(y)$$ De Esta ODA se puede derivar que el grado del polinomio es de 3. Ahora usted puede resolver este ODE...