Demostrar que $G$ es un grupo

Question

Dejemos que $G$ sea un subconjunto de $\mathbb Z$ .

$G$ tiene al menos un elemento positivo y otro negativo y si $a, b \in G$ entonces $a+b \in G$ . Cómo demostrar que $G$ ¿es el grupo bajo la operación +?

Answer 1

Tienes el cierre gratis, así como la asociatividad.

Tenga en cuenta que si $a\in G$ entonces $na\in G$ Así que si $a, b\in G$ entonces $|a|b+|b|a\in G$ , donde $|c|$ denota el valor absoluto. ¿Por qué esto le da la identidad?

Una vez que te has dado cuenta de por qué la línea anterior te da la identidad, ¿puedes ver por qué también te da las inversas?

Answer 2

El criterio de los subgrupos nos da la afirmación, si podemos demostrar que $G$ es cerrado bajo negación.

Dejemos que $x\in G$ sea arbitraria. Supongamos que $x>0$ (el otro caso se maneja haciendo los cambios obvios en este argumento). Hay un número negativo $m<0$ en $G$ . Aplicando el supuesto $x-1$ veces nos da que $2m=m+m, 3m=2m+m,\ldots, xm=(x-1)m+m$ son todos elementos de $G$ .

Entonces obtenemos $mx+x=(m+1)x\in G$ , $mx+2x=(m+2)x\in G,\ldots$ y eventualmente $(-1)x\in G$ porque desde $m$ llegamos a $-1$ añadiendo $+1$ finitamente muchas veces.