Si tres números complejos $z_k$ han módulo de $1$, $|z_1+z_2+z_3| = |\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|$

Question

Nuestro profesor nos dio un duro cuestión (según ella, es muy difícil para nuestro nivel):

Dado que el $|z_1| = |z_2|= |z_3|=1,z \in\mathbb{C}$, demuestran que, a $|z_1+z_2+z_3| = |\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}|$.

Ahora, la clase juzgado por como 40 minutos para demostrar que, y entonces el maestro se acercó con algunos realmente complicados de la prueba.

Me senté en silencio y se acercó con esta prueba: $$|z_1+z_2+z_3| = |R(\operatorname{cis}\alpha + \operatorname{cis}\beta + \operatorname{cis}\gamma)| = I$$ Así $$|I| = R\tag{1}$$ También, $$\left|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right|=\left|\frac{1}{R}\left(\frac{1}{\operatorname{cis}\alpha}+\frac{1}{\operatorname{cis}\beta}+\frac{1}{\operatorname{cis}\gamma}\right)\right| = T$$

Así

$$|T| = \frac{1}{R} \tag{2}$$

Es fácil ver que de $(1)$ $(2)$ obtenemos:

$$R=\frac{1}{R}$$

Así

$$\frac{1}{1} = 1$$

Que finalizar la prueba.

Mi profesor dice que hay un error en mi prueba, pero no encontró ninguno - ella dijo que no podía ser tan fácil.

Hay un error en mi prueba? O es válido?

Answer 1

La siguiente es una bastante fáciles de la prueba.

Desde $z_1,z_2,z_3$ están en el círculo unidad, tenemos:$$\frac{1}{z_i}=\overline{z_i}\qquad i=1,2,3.$$ Hence,$$\left|\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}\right|=\left|\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}\right|=|\overline{z_1+z_2+z_3}|=|z_1+z_2+z_3|.$$

Answer 2

Su prueba es incorrecta ya que $\vert I \vert \neq R$.

La prueba es en realidad bastante sencillo. De hecho, se puede demostrar que si $\vert z_k \vert = 1$ todos los $k \in \{1,2,\ldots,n\}$, tenemos $$\left \vert \sum_k z_k\right \vert = \left \vert \sum_k \dfrac1{z_k}\right \vert$$

Deje $z_k = e^{it_k} = \cos(t_k) + i \sin(t_k)$. Luego tenemos la $\dfrac1{z_k} = e^{-it_k} = \cos(t_k) - i\sin(t_k)$. Por lo tanto, tenemos $$\sum_{k=1}^n z_k = \sum_{k=1}^n \cos(t_k) + i \sum_{k=1}^n \sin(t_k)$$ $$\sum_{k=1}^n \dfrac1{z_k} = \sum_{k=1}^n \cos(t_k) - i \sum_{k=1}^n \sin(t_k)$$ Por lo tanto, $$\left\lvert \sum_{k=1}^n z_k \right \rvert = \sqrt{\left(\sum_{k=1}^n \cos(t_k)\right)^2 + \left(\sum_{k=1}^n \sin(t_k)\right)^2}$$ y $$\left\lvert \sum_{k=1}^n \dfrac1{z_k} \right \rvert = \sqrt{\left(\sum_{k=1}^n \cos(t_k)\right)^2 + \left(\sum_{k=1}^n \sin(t_k)\right)^2}$$ que por lo tanto nos da que $$\left \vert \sum_k z_k\right \vert = \left \vert \sum_k \dfrac1{z_k}\right \vert$$

Answer 3

Déjeme darle una muy fácil solución a problema muy difícil :D

Dado : $z_i\bar z_i=1$ Donde, $1\leq i\leq 3$ Puede ser equivalentemente, escrito como:

$z_i=\dfrac{1}{\bar z_i}$

Que da $z_1+z_2+z_3=\frac{1}{\bar z_1}+\frac{1}{\bar z_2}+\frac{1}{\bar z_3}=\bar{(\frac{1}{z_1})}+\bar{(\frac{1}{z_2})}+\bar{(\frac{1}{z_3})}$

$|\bar{(\frac{1}{z_1})}+\bar{(\frac{1}{z_2})}+\bar{(\frac{1}{z_3})}|$

Ahora usted puede utilizar la distributividad de conjugar el signo y el hecho de que $|z|=|\bar{z}|$

Para llegar a su resultado.

Answer 4

¿Dónde está el error en @Eminem 's de la prueba?

Lo mejor que puede contar usted está recibiendo $$|T|=\frac{1}{R}$$ de una de las tres líneas de pensamiento. Si ninguna de estas líneas de pensamiento se aplican en su caso, describa cómo se deriva la línea (2).

A. $$(\operatorname{cis}\alpha + \operatorname{cis}\beta + \operatorname{cis}\gamma)=1$$ Esto es falso.

o B. $$\frac{1}{(\operatorname{cis}\alpha + \operatorname{cis}\beta + \operatorname{cis}\gamma)}=\frac{1}{\operatorname{cis}\alpha}+\frac{1}{\operatorname{cis}\beta}+\frac{1}{\operatorname{cis}\gamma}$$ Esto también es falso.

o C

@hagen von eitzen correcta interpretación de su pensamiento. Suponiendo que el teorema de uno está tratando de demostrar que es un error común.

Sin embargo, la R es igual a 1 porque $$|z1|=|z2|=|z3|=1$$

Leer a través de http://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Algebra_Cheat_Sheet.pdf de http://tutorial.math.lamar.edu/cheat_table.aspx Particularmente el Común Algebraica de los Errores en la última página. Compare y contraste con los teoremas relacionados en la primera página y media.

Answer 5

$(z_1 + z_2 + z_3)/3$ es el baricentro del triángulo formado por la $z_i$'s, y $z \mapsto 1/z$ actúa como una isometría en el círculo unidad, por lo que el baricentro del nuevo triángulo que está a la misma distancia desde el origen como el original.