La cardinalidad de $\mathbb{R}/\mathbb Q$

Question

Cómo demostrar la cardinalidad de $\mathbb{R}/ \mathbb Q$ es igual a la cardinalidad de $\mathbb{R}$

Answer 1

Observación: Esto responde a la versión original de la pregunta.

La siguiente biyección utiliza el hotel infinito de Hilbert.

Los racionales se pueden enumerar como $q_0,q_1,q_2,\dots$ en varias formas explícitas.

Definir $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ de la siguiente manera.

Si $x$ no tiene forma $q$ o $\sqrt{3}+q\sqrt{2}$ , donde $q$ es racional, dejemos que $f(x)=x$ .

Si $x$ es el racional $q_i$ , dejemos que $f(x)=\sqrt{3}+q_{2i}\sqrt{2}$ .

Si $x=\sqrt{3}+q_i\sqrt{2}$ , dejemos que $f(x)=\sqrt{3}+q_{2i+1}\sqrt{2}$ .

Answer 2

Para demostrar la igualdad necesitamos encontrar una biyección entre los conjuntos, o dos inyecciones entre ellos.

Como se señala en los comentarios, esto no puede demostrarse sin el axioma de elección. Así que voy a utilizarlo libremente.

Asumiendo el axioma de elección, si es así, tenemos una función $f\colon\mathbb{R/Q\to R}$ que elige $f(A)\in A$ por cada $A\in\mathbb{R/Q}$ . Esto es una inyección porque si $A\neq A'$ entonces $f(A)\in A$ y $f(A)\notin A'$ y viceversa, por lo tanto $f(A)\neq f(A')$ .

Por otro lado, dejemos que $V=\operatorname{rng}(f)$ entonces $\mathbb R$ es una unión contable de copias de $V$ , a saber $\bigcup_{q\in\mathbb Q}q+V$ . Por lo tanto, $|V|\cdot\aleph_0=2^{\aleph_0}$ . De nuevo, utilizando el axioma de elección, tenemos que $2^{\aleph_0}=|V|\cdot\aleph_0=\max\{|V|,\aleph_0\}=|V|$ .

Answer 3

$\mathbb{R}= (\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}) \sqcup \mathbb{Q}$ , donde $\mathbb{Q}$ es contable y $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ infinito, por lo que $$|\mathbb{R}|= |\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} | + | \mathbb{Q}|= \max ( |\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} |, |\mathbb{Q}|) = |\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} |$$

Answer 4

No veo lo que hubiera esperado que fuera la "respuesta estándar" a esta pregunta, así que permítanme dejarla con la esperanza de que sea útil para alguien.

Propuesta: Sea $G$ sea un grupo infinito, y sea $H$ sea un subgrupo con $\# H < \# G$ . Entonces $\# G/H = \# G$ .

Prueba: Sea $\{g_i\}_{i \in G/H}$ sea un sistema de representantes del coset para $H$ en $G$ entonces cada elemento $x$ en $G$ puede escribirse como $x = g_{i_x} h_x$ para un único $h_x \in H$ y $i_x \in G/H$ . (Obsérvese que no existe un sistema canónico de representantes de conjuntos: obtener uno es un uso arquetípico del axioma de elección). Así, hemos definido una biyección desde $G$ a $G/H \times H$ Así que $\# G = \# G/H \cdot \# H$ . Desde $\# G$ es infinito, por lo que debe ser al menos uno de $\# G/H$ , $\# H$ y luego la aritmética cardinal estándar (de nuevo se usa AC...) da que

$\# G = \# G/H \cdot \# H = \max(\#G/H, \# H)$ .

Ya que hemos asumido $\# H < \# G$ concluimos que $\# G = \#G/H$ .

Esto se aplica en particular con $G = \mathbb{R}$ , $H = \mathbb{Q}$ para dar $\# \mathbb{R}/\mathbb{Q} = \# \mathbb{R} = 2^{\aleph_0}$ .

Answer 5

$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ son ambos de tamaño continuo. Así que asumiendo como espacios vectoriales sobre el $\mathbb{Q}$ deben tener bases de tamaño continuo. Sabemos que si dos espacios vectoriales tienen bases del mismo tamaño entonces son isomorfos.