Un horizonte Cosmológico en el radio de Hubble?

Question

He calculado que si se extiende la rígida regla en el espacio en una determinada distancia adecuada $D$, a continuación, un reloj en la final de la regla, que se ejecuta en el tiempo apropiado,$\tau$, se ejecutará más lentamente que el tiempo de $t$ al origen por una dilatación del tiempo factor:

$$\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - H^2 D^2 / c^2}}$$

donde $H$ es el parámetro de Hubble.

Si uno sustituye en la ley de Hubble, $v = H D$ (el teórico de la ley que es exacto), se encuentra la siguiente satisfactorio resultado que

$$\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}}.$$

Aunque esto parece ser una consecuencia de la relatividad especial me derivados con la combinación de los FRW métrica de la línea de elemento y una ecuación para la ruta de la final de la regla, $\chi = D / R(t)$ donde $\chi$ es el radial comoving de coordenadas de la final de la regla, $D$ es un fijo y una distancia adecuada $R(t)$ es el scalefactor.

¿Demuestra esto que hay un horizonte cosmológico en el radio de Hubble $D=c/H$ donde el buen tiempo $\tau$ ralentiza a una parada en comparación con nuestro tiempo $t$?

Este parece ser un resultado general que es cierto independientemente de su modelo cosmológico.

Detalles de Cálculo

El general FRW métrica es dada por:

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + R(t)^2\left[d\chi^2+S^2_k(\chi)d\psi^2 \right]$$

donde $d\psi^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2$ y $S_k(\chi)=\sin \chi$,$\chi$ o $\sinh \chi$ cerrados ($k=+1$), tv ($k=0$) o abierto ($k=-1$) universos respectivamente. El factor de escala $R(t)$ tiene unidades de longitud.

Considere la posibilidad de una regla fija, de longitud adecuada $D$ se extiende radialmente desde nuestra posición en el origen. La ruta de acceso del extremo de la regla en comoving coordenadas es

$$\chi = \frac{D}{R(t)}$$

Diferenciando esta ecuación por el tiempo apropiado, $\tau$ nos da:

$$\frac{d\chi}{d\tau} = - \frac{D}{R^2} \frac{dR}{dt} \frac{dt}{d\tau}.$$

El uso de la FRW métrica podemos encontrar una ecuación diferencial para la ruta del extremo de la regla. Sustituimos en $ds^2=-c^2d\tau^2$ (final de la regla tiene un tiempo-como la ruta), $d\psi=0$ (la regla es radial) y se divide por $d\tau^2$ para obtener:

$$c^2\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - R(t)^2 \left(\frac{d\chi}{d\tau}\right)^2 = c^2.$$

Sustituyendo la expresión para $d\chi/d\tau$ en la ecuación anterior podemos encontrar:

$$c^2\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - D^2 \left(\frac{\dot R}{R}\right)^2 \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 = c^2.$$

Usando la definición del parámetro de Hubble $H=\dot{R}/R$ se obtiene finalmente:

$$\frac{dt}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - H^2 D^2 / c^2}}.$$

Answer 1

El problema es que su cálculo no tiene significado físico. Solo es significativo para comparar dos cantidades dentro del mismo marco inercial. Pero a nivel mundial no se marco inercial que nos conecta a un co-movimiento de los galaxy en el radio de Hubble: una galaxia se encuentra en reposo en su propio local cosmológico marco inercial (ignorando locales peculiares movimientos). Así, debido a que el Principio Cosmológico, su propia cósmico en el tiempo apropiado, es similar a la nuestra.

Para obtener información significativa, debemos analizar a la luz de la galaxia, tal como lo observamos. Y como te indican en su propia respuesta, el radio de Hubble no es un horizonte cosmológico en términos de trayectorias de la luz.

Para ver por qué, veamos el Estándar ΛCDM-modelo con más detalle. La expansión del universo puede ser expresado en términos del factor de escala $a(t)$ y sus derivados, con $a=1$ hoy en día. A partir de las ecuaciones de Friedmann, se puede demostrar que el parámetro de Hubble $H$ tiene la forma $$ H(a) = \frac{\dot{a}}{un} = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,^{-4} + \Omega_{M,0}\,^{-3} + \Omega_{K,0}\,^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}, $$ con $H_0$ la actual constante de Hubble, $\Omega_{R,0}, \Omega_{M,0}, \Omega_{\Lambda,0}$ la relación presente-día de la radiación, la materia y la energía oscura densidad y $\Omega_{K,0}=1-\Omega_{R,0}- \Omega_{M,0}- \Omega_{\Lambda,0}$. Voy a suponer que los valores $$ \begin{gather} H_0 = 67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\text{Mpc}^{-1},\\ \Omega_{R,0} = 0, \quad\Omega_{M,0} = 0.315, \quad\Omega_{\Lambda,0} = 0.685,\quad\Omega_{K,0} = 0. \end{reunir} $$ Es importante tener en cuenta que, aunque la expansión del universo se acelera ($\ddot{a}>0$), el parámetro de Hubble $H$ es de hecho siempre decreciente. El tiempo cósmico se puede calcular a partir $$ \text{d}t = \frac{\text{d}} {\dot{a}} = \frac{\text{d}} {aH(un)}, $$ así que $$ t(a) = \int_0^a\frac{\text{d}} {aH(a)}. $$ Del mismo modo, un fotón viaja en un null-geodésica $$ 0 = c^2\text{d}t^2 - a^2(t)\text{d}\ell^2, $$ con $\text{d}\ell$ co-movimiento de desplazamiento, por lo que el co-movimiento de la distancia recorrida por un fotón es $$ D_\text{c} = c\int_{a_\text{em}}^{a_\text{ob}}\frac{\text{d}} {\dot{a}} = c\int_{a_\text{em}}^{a_\text{ob}}\frac{\text{d}a}{a^2 H(a)}, $$ con $a_\text{em} = a(t_\text{em})$ $a_\text{ob} = a(t_\text{ob})$ la escala de los factores en los momentos de la emisión y la observación. En cualquier momento $t$, un co-movimiento de distancia $D_\text{c}(t)$ se puede convertir en una distancia adecuada $D(t) = a(t) D_\text{c}(t)$.

La distancia a la actual radio de Hubble es $$ D_\text{H}=\frac{c}{H_0}\approx 14.5\;\text{Gly}. $$ Ahora, podemos definir dos cosmológica importante horizontes: el primero es el horizonte de partículas, que marca el borde del universo observable. Es la máxima distancia que la luz ha sido capaz de viajar a eeuu entre el $t=0$ y el día de hoy, es decir, como podemos ver: $$ D_\text{ph} = c\int_0^1\frac{\text{d}a}{a^2 H(a)}. $$ Desde $H(a) < a^{-2}H_0\ $$a<1$, obtenemos $$ D_\text{ph} > \frac{c}{H_0}\int_0^1\text{d} = D_\text{H}, $$ de ello se deduce que el radio de Hubble es menor que la de la partícula horizonte, y por lo tanto parte del universo observable. De hecho, $D_\text{ph}\approx 46.2\;\text{Gly}$.

El segundo horizonte es el horizonte de sucesos. Es la región del espacio a partir de la cual un fotón que se emite en 'hoy' todavía será capaz de llegar a nosotros en algún momento en el futuro. Así $$ D_\text{eh} = c\int_1^\infty\frac{\text{d}a}{a^2 H(a)}. $$ Desde $H(a) < H_0\ $$a>1$, obtenemos $$ D_\text{eh} > \frac{c}{H_0}\int_1^\infty\frac{\text{d}a}{a^2} = D_\text{H}, $$ de modo que el radio de Hubble es también menor que el horizonte de sucesos: una galaxia en el radio de Hubble puede enviar señales a nosotros (o nosotros a ellos). $D_\text{eh}\approx 16.7\;\text{Gly}$.

La situación se muestra en estas gráficas (haga clic en "ver imagen" para una versión más grande): el primero es con el co-movimiento de coordenadas, la segunda con coordenadas adecuadas.

El negro de líneas sólidas indican nuestra posición actual. La línea azul es el horizonte de partículas a través del tiempo, la línea roja es el horizonte de sucesos, la zona verde es la esfera de Hubble. La línea negra punteada es un co-movimiento de la galaxia que se encuentra actualmente en el radio de Hubble. Su fotones que observamos hoy en día han viajado en el cian ruta (que se emiten en el $t=4.3\;\text{Gy}$). Su fotones que emite hoy ($t=13.8\;\text{Gy}$) viajará en la púrpura camino (que va a llegar a nosotros en $t=49\;\text{Gy}$).

Así que podemos decir nada acerca de la dilatación del tiempo? La respuesta es sí. La luz que observamos también está desplazado hacia el rojo $$ 1 + z = \frac{\lambda_\text{ob}}{\lambda_\text{em}} = \frac{\nu_\text{em}}{\nu_\text{ob}}. $$ Dentro de un pequeño tiempo de $\delta t_\text{em}$ la fuente emite una onda de luz con $\nu_\text{em}\delta t_\text{em}$ oscillations. Those same oscillations are observed within time $\delta t_\text{ob}$ with frequency $\nu_\text{ob}$, in other words $\nu_\text{em}\delta t_\text{em} = \nu_\text{ob}\delta t_\text{ob}$, por lo que $$ 1 + z = \frac{\delta t_\text{ob}}{\delta t_\text{em}}. $$ En otras palabras, cósmica redshift está directamente relacionado con la dilatación del tiempo. También, dentro de un pequeño tiempo de $\delta t_\text{em}$, la distancia que la luz tiene que viajar no cambia: $$ \int_{t_\text{em}}^{t_\text{ob}}\frac{c\,\text{d} t}{a(t)} = \int_{t_\text{em} + \delta t_\text{em}}^{t_\text{ob} + \delta t_\text{ob}}\frac{c\,\text{d} t}{a(t)}, $$ o $$ \int_{t_\text{ob}}^{t_\text{ob} + \delta t_\text{ob}}\frac{c\,\text{d} t}{a(t)} = \int_{t_\text{em}}^{t_\text{em} + \delta t_\text{em}}\frac{c\,\text{d} t}{a(t)}. $$ en estos pequeños intervalos, la integrands permanece constante, de modo que $$ \frac{\delta t_\text{ob}}{a(t_\text{ob})} = \frac{\delta t_\text{em}}{a(t_\text{em})} $$ y $$ 1 + z = \frac{a(t_\text{ob})} {(t_\text{em})}. $$ La luz de la co-movimiento de la galaxia en la actual Hubble radio que observamos hoy en día se emite cuando el $a(t_\text{em})=0.403$, por lo que el $z=1.48$, y el observado eventos de esta galaxia son de tiempo dilatado por un factor de $2.48$. Y que la luz que emite el día de hoy será observado al $a(t_\text{ob})=8.07$, con redshift $z=7.07$.

Tal vez dilataciones en efecto, se ha observado: que, literalmente, ver supernovas distantes explotar en cámara lenta!

Answer 2

Una primera comprobación para ver que su manifestación no es correcto es que, si la distancia adecuada $D$ es fijo, lo que significa que la luz puede viajar de un extremo a otro en un determinado intervalo de tiempo fijo. Por lo tanto, parece claramente incompatibles con un horizonte.

El problema, en realidad, es que no es correcto afirmar que $v=HD$ donde $D$ es una constante.

De hecho, si tenemos en cuenta dos comoving galaxias, con sus correspondientes comoving coordenadas $\chi_1$$\chi_2$, podemos definir una "distancia" $D$ entre ellos, por suponer que el tiempo es "detenido", que es $D(t) = R(t) |\chi_2 - \chi_1 |$

Así, no es una verdadera distancia entre las galaxias, para obtener una verdadera distancia, tendríamos que emiten un rayo de luz de $1$ hacia $2$, luego de vuelta a $1$, calcular el tiempo total, dividir por $2$ y multiplicar por $c$, por lo que la coordenada $t$ no cambia en este caso.

Ahora bien, es claro que $v(t) =\frac{dD(t)}{dt}$ tiene la dimensión de una velocidad, y es la de la velocidad recesional. Pero debido a que $D(t)$ no es una verdadera distancia, $v_c(t)$ no es una verdadera velocidad.

De corse, podemos escribir : $v(t) = \frac{dD(t)}{dt} = R'(t) |\chi_2 - \chi_1| =\frac{R'(t)}{R(t)}D(t) = H(t) D(t)$, y esta es la ley de Hubble.

[EDIT 1]

Si tenemos en cuenta una distancia fija $D$, se puede calcular el valor límite, para un determinado t, tales como $DH(t)=c$. En el momento presente, con $H(t)=67.8 $ km/(s. Mpc), esto nos da:

$D = 14.4$ miles de millones de año luz. (Hubble distancia)

Esto es para ser comparado con el actual, radio del universo observable : $46$ miles de millones de año luz

[EDIT 2]

Mirando una vez más el tiempo en el gráfico (presentado por Púlsar), Se puede ver que, en el momento presente, este Hubble distancia (correspondiente a la línea verde de $v_{rec} = c$) es menor que el actual horizonte de sucesos ($\sim 16$ miles de millones de año luz), por lo que cualquier rayo de luz emitida desde la extremidad de la regla, en el momento presente, siempre va a llegar el origen de la regla en el futuro.

De hecho, en todo momento, el Hubble distancia es menor que el horizonte de sucesos.

Se puede ver, en el gráfico, que el corrimiento hacia el rojo puede ser leído directamente, en la intersección de la línea verde $v_{rec} = c$, y la horizontal de la línea negra, el corrimiento hacia el rojo (discontinua línea púrpura) entre $z=1$ $z=3$

Answer 3

Supongo que mi pregunta es: ¿nuestra actual espacial hyperslice tener un "borde" (desde nuestra perspectiva)?

Creo que mi uso del término "horizonte cosmológico" las causas de la incomprensión tal y como este término se define generalmente en términos de trayectorias de la luz.

Creo que mi cálculo implica que hay un borde eficaz de "nuestro" Universo en el radio de Hubble, donde el local adecuado del tiempo se reduce a cero en comparación con nuestro tiempo adecuado en el origen (que es el mismo que cosmológica del tiempo).

Por lo tanto, mi definición de lo que consiste nuestro Universo es instantánea (como el espacio) y es diferente del concepto del Universo observable, que depende de las trayectorias de la luz.