¿Por qué es Korn desigualdad no trivial?

Question

Deje $\Omega \subset \subset \mathbb{R}^N$ han suave límite, $N \geqslant 2$ y

$$\mathcal{E} ( v) := \int_{\Omega} \sum_{i, j} \varepsilon_{i j} ( v) \varepsilon_{yo, j} ( v) \mathrm{d} x := \int_{\Omega} \sum_{i, j} \left( \frac{v_{i, j} + v_{j, i}}{2} \right)^2 \mathrm{d} x$$

ser definidos en $H^1 ( \Omega, \mathbb{R}^N)$. Tener sólo lectura para el enésima vez que la razón por la que Korn desigualdad

$$\mathcal{E} ( v) + \| v \|_{L^2}^2 \geqslant c \| v \|^2_{H^1}$$

no es trivial es que el lado izquierdo "implica sólo ciertas combinaciones de derivados", me pregunto si esto es realmente cierto y si sí, que si yo entender las cosas correctamente, porque para mí es una cuestión de algunos productos ( $v_{i,j}v_{j,i}$ $i \neq j$ ) posiblemente negativo. No me perderse entre los índices?

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Edit: en el contexto de la elasticidad lineal, a menudo se dice que esta desigualdad no es una trivialidad (en el sentido de que no es tautológica), debido a las diferentes combinaciones de las derivadas parciales que aparecen en cada lado. Algunos autores afirman que sólo algunos (seis) diferentes derivadas parciales aparecen en el lado izquierdo (ver [1], [2], [3]). Sin embargo veo que todas las derivadas parciales en ambos lados, pero combinados de manera diferente (ver mi respuesta). Entiendo las dificultades reales en la prueba y las implicaciones para la coercitividad de las pruebas, por ejemplo. Es esta afirmación que me parece confuso.

[1] G. Duvaut y J.-L. Leones, las Desigualdades en la mecánica y la física, vol. 219. Springer-Verlag, 1976.

[2] P. G. Ciarlet, Una introducción a la geometría diferencial con las aplicaciones de la elasticidad. Springer, 2005, .

[3] F. Demengel y G. Demengel, espacios Funcionales para la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas, vol. 8. Springer, 2012.

Answer 1

Como yo lo veo, tenemos:

$$\begin{eqnarray*} \mathcal{E} ( v) + \| v \|_{L^2} & = & \int_{\Omega} \frac{1}{4} \sum_{i, j} ( v_{i, j} + v_{j, i})^2 \mathrm{d} x + \| v \|_{L^2}\\ & = & \int_{\Omega} \frac{1}{2} \sum_{i, j} ( v_{i, j}^2 + v_{i, j} v_{j, i}) \mathrm{d} x + \| v \|_{L^2}\\ & = & \frac{1}{2} \left( \| \nabla v \|^2_{L^2} + \underset{\geqslant 0}{\underbrace{\sum_{i = j} \| v_{i, j} \|^2_{L^2}}} + \sum_{i \neq j} \int_{\Omega} v_{i, j} v_{j, i} \mathrm{d} x \right) + \| v \|_{L^2}\\ & \geqslant & \frac{1}{2} \| v \|_{H^1}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \int_{\Omega} v_{i, j} v_{j, i} \mathrm{d} x. \end{eqnarray*}$$

Y el problema es que en último término podría ser negativo. El razonamiento del mismo modo que uno llega a la conclusión de que el opuesto de la desigualdad es fácil de usar fuerza bruta-Hölder:

$$\begin{eqnarray*} \mathcal{E} ( v) + \| v \|_{L^2}^2 & \leqslant & \| v \|^2_{H^1} + \frac{1}{2} \sum_{i , j} \int_{\Omega} v_{i, j} v_{j, i} \mathrm{d} x\\ & \leqslant & \| v \|^2_{H^1} + \frac{N^2}{2} \| v \|_{H^1}^2\\ & \leqslant & N^2 \| v \|_{H^1}^2 . \end{eqnarray*}$$

Comentarios/correcciones son más que bienvenidos...