Rompecabezas de monedas de oro en la bolsa de

Question

Al final de la Probabilidad de la clase, nuestro profesor nos dio el siguiente acertijo:

Hay 100 bolsas cada una con 100 monedas, pero sólo una de estas bolsas de monedas de oro. La moneda de oro tiene el peso de 1.01 gramos y el de otras monedas peso de 1 gramo. Se nos da una báscula digital, pero sólo podemos utilizar una vez. ¿Cómo podemos identificar la bolsa de monedas de oro?

Después de unos 5 minutos de espera, nuestro profesor nos dio la solución (la clase había terminado y él no quería esperar más):

Dar las bolsas de los números del 0 al 99, luego tomar 0 monedas de la bolsa número 0, 1 monedas de la bolsa número 1, 2 monedas de la bolsa número 2, y así sucesivamente hasta que se tome 99 monedas de la bolsa número 99. Recoger todas las monedas que hemos tomado juntos y ponerlos en la escala. Indicar el peso de estas monedas $W$ y el número de la bolsa con monedas de oro en como $N$, entonces podemos identificar la bolsa de monedas de oro utilizando la fórmula $$N=100(W-4950)$$ Por ejemplo, si el peso de todas las monedas reunidas es de $4950.25$ gramos, a continuación, utilizando la fórmula de arriba de la bolsa número 25 ha de monedas de oro.

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo funciona la fórmula de trabajo? ¿De dónde provienen?
2. Tenemos otras maneras de resolver este rompecabezas? Si sí, ¿cómo?
3. Si la balanza digital es reemplazado por un tradicional escala, la escala, como símbolo de la libra o la escala en la obra de Shakespeare drama: El Mercader de Venecia (no sé cuál es el nombre en inglés), entonces ¿cómo podemos resolver este rompecabezas?

Answer 1

Para entender la fórmula, sería más fácil de explicar cómo funciona conceptualmente antes de que se derivan de ella.

Vamos a simplificar el problema y dicen que hay sólo 3 bolsas, cada una con 2 monedas en ellos. 2 de las bolsas de tener el 1 gramo monedas y uno tiene la 1.01 gramo de monedas de oro. Vamos a denotar las bolsas de forma arbitraria como $Bag_0$, $Bag_1$, y $Bag_2$. De manera similar a su problema, vamos a echar 0 monedas de $Bag_0$, 1 moneda de $Bag_1$, y 2 monedas de $Bag_2$. Sabemos que las monedas de oro debe estar en una de esas bolsas, por lo que hay tres posibilidades cuando contrastamos las tres monedas que hemos eliminado:

Las Monedas de oro en $Bag_0$: Para que el peso de las 3 monedas en la escala de 1 gramo. De modo que la escala se lee 3 gramos.

Las Monedas de oro en $Bag_1$: Para que el peso de 1 de las monedas es de 1.01 gramos y 2 de las monedas de 2 gramos. De modo que la escala se lee 3.01 gramos.

Las Monedas de oro en $Bag_2$: Para que el peso de 2 de las monedas es de 2,02 gramos y 1 de las monedas es de 1 gramo. De modo que la escala se lee 3.02 gramos.

Así que cada posibilidad tiene un único escenario. Así que si queremos determinar el peso, se puede determinar a partir de la cual la bolsa de esas monedas vino basado en el peso.

Podemos generalizar los resultados de este ejemplo simplificado a su 100 de la bolsa de ejemplo.

Ahora para derivar la fórmula. Decir, hipotéticamente, de nuestros más de 100 bolsas, todo 100 monedas en cada una de las 100 bolsas pesan 1 gramo cada uno. En ese caso, cuando se retire 0 monedas de $Bag_0$, 1 de $Bag_1$, hasta 99 monedas de $Bag_{99}$, tendremos un total de 4950 monedas en la escala, que se equivalentemente ser 4950 gramos. Simplemente, si $n$ es nuestro número de Bolsa (denotado $Bag_n$), hemos colocado $n$ monedas de cada $Bag_n$ en la escala de $n = 0, 1, 2, ... 99 $.

Por lo que el peso de las monedas será de $Peso = 1 + 2 + 3 + ... + 99 = 4950$

Pero en realidad tenemos una bolsa con monedas de oro que pesan 1.01 gramos. Y sabemos que esos 1.01 gramo monedas debe ser de unos $Bag_n$. En nuestro ejemplo hipotético, todas nuestras monedas de 1 gramo de monedas, por lo que debemos reemplazar el $n$ monedas pesaba desde $Bag_n$ con $n$ monedas de oro que pesan 1.01 gramos. Matemáticamente, tendríamos: $Peso = 4950 - n + 1.01 n = 4950 + .01n = 4950 + n/100$

Reorganización de la fórmula para resolver para n, tenemos: $100(Peso-4950) = n$, donde $Peso$ es $W$ y $n$ es $N$ en su ejemplo.

No tengo conocimiento de una alternativa de respuesta a este rompecabezas, pero tal vez otro miembro de la respuesta puede ser esclarecedor si hay. Técnicamente hablando, usted podría tener denota las bolsas de 1 a 100 y se ha ido a través de un proceso similar que el anterior, pero el método sigue siendo el mismo, así que no me tratan como una nueva respuesta.

Si nuestra eléctrico escala es reemplazado por una escala de libra, no creo que sería posible respuesta a este rompecabezas con sólo una medida de peso. Pero de nuevo, tal vez otra respuesta puede ser esclarecedor sobre eso.

Answer 2

Para #1: imagina por un momento que todas las monedas son falsas. Si tomamos 0 monedas de la bolsa de 0, 1 moneda de la bolsa 1, 2 monedas de la bolsa 2... tendríamos $99\times100/2=4,950$ monedas, y los 4,950 monedas pesan un total de 4,950 gramos. Pero ahora, dicen que la bolsa de 25 fueron el uno con el real de las monedas que son un poco más pesado: 0.01 gramos más pesado, de hecho. Por lo que el peso total de las monedas es de $W=4950+0,01 N$, donde $N$ es el número de la bolsa con la real de las monedas. Pero, tenemos el peso, no el número de bolsa. Así que vamos a invertir la ecuación: queremos encontrar N dada W, no la otra manera alrededor.

$$\begin{align}W&=4950+0,01 N\\W-4950&=0,01 N\\100(W-4950)&=N\end{align}$$

Para #2, aparte de la numeración de las bolsas, no hay una forma diferente de hacer esto; no importa qué, tenemos que tener un número diferente que viene de la escala para cada resultado posible.

Para #3, usted necesita $\lceil\log_3k\rceil$ pesajes para descubrir la extraña moneda; para 100 monedas, que del 5 pesajes: las primeras divisiones de las monedas en grupos de (a) 34; el segundo en grupos de (a) 12; el tercero en grupos de (hasta) 4; el cuarto en grupos de (a) 2; en la quinta se encuentra garantizada.

Por qué $\lceil\log_3k\rceil$? Cada uso de las balanzas en realidad se comparan tres grupos diferentes de monedas: el uno en la escala de la izquierda, el de la derecha de la escala, y la que no en la escala en todo. Si uno de los dos grupos en la escala es más pesado, entonces la moneda de oro es en ese grupo; si no, entonces la moneda de oro está en el grupo y no en la escala. Por lo tanto, de peso cada uno puede distinguir entre los 3 estados, y $n$ pesajes puede distinguir entre $3^n$ de los estados. Necesitamos un entero solución a $3^n\ge k$, lo $n\ge\log_3k$, lo $n=\lceil\log_3k\rceil$.

Answer 3

De acuerdo a los valores dados, las monedas de oro tienen esencialmente el mismo peso (abajo a una sola por ciento) como la base. Puesto que el oro es pesado esto significa que cada moneda de oro es significativamente menor.

Olvídate de pesaje y toma la bolsa de cuyas monedas son mucho más pequeños que las monedas en las bolsas de otros.

Answer 4

1. Si todas las monedas tienen el mismo peso ($1.00$ gramo), entonces el peso total de la toma de de $0$ monedas de la bolsa $0$, $1$ moneda de la bolsa de $1$, etc. sería de $4950$ gramos. Verificar: $1 + 2 + \cdots + 99 = 4950$. Para trabajar con el ejemplo: si usted toma $25$ monedas de la bolsa de $25$, entonces el total de desplazamiento en peso es de $0.25$ gramos.
2. No que yo sepa.
3. Cuando el resto de las reglas son las mismas (peso de sólo una vez), usted no puede resolver el rompecabezas.

Answer 5

El peso total de monedas en la balanza digital es $$W=\sum_{m=0}^{99} mw_m$$ donde $w_m$ es el peso de cada una de las monedas de la bolsa número de m$.$ Pero si las monedas de oro son en realidad en el número de bolsa $N,$ entonces $$w_m = \begin{casos} 1 + 0.01 && \text{si}\ m = N, \\ 1 && \text{si}\ m \neq N. \end{casos}$$ Por lo tanto, el único término de la suma no es igual a $m$ es el término $Nw_N,$ que es igual a $N + 0.01 N.$ Para $$W=\sum_{m=0}^{99} mw_m = \left(\sum_{m=0}^{99} m\right) + 0,01 N = 4950 + 0.01 N.$$ Sabiendo $W$, podemos resolver por $N.$

Hay otras soluciones? Sin duda! Podríamos elegir $m+1$ monedas de cada bolsa numerada $m$, o de hecho cualquier cantidad de monedas mientras tomamos un número diferente de las monedas de cada bolsa y saber que la bolsa contribuido a qué número de monedas. El mismo cálculo, como antes, nos dice cuántas monedas de oro están en la escala, y podemos entonces deducir que la bolsa deben de haber venido.

En hecho, usted puede encontrar la bolsa de monedas de oro hasta entre $101$ bolsas de esta manera. Eso es porque no son sólo $101$ números diferentes de monedas que podemos extraer de una bolsa. Si alguna de las bolsas de tener más monedas, podemos resolver esto por más bolsas. Pero no podemos resolver el rompecabezas de tantas bolsas que no tendría que ser dos bolsas que contribuyen con el mismo número de monedas para el pesaje, porque si nos enteramos de que ese era el número de monedas de oro en la escala, a continuación, nos no sé cual de las dos bolsas que procedían.

Ahora, si usted tiene sólo un dos-pan equilibrio que no dar una lectura, no es posible determinar donde las monedas de oro están en un peso. Tardará varios pesajes, como en las soluciones a este problema y este problema.