El espacio obtenido mediante la identificación de la antipodal puntos de un círculo

Question

Tome el círculo unidad $S^1$ $\Bbb{R}^2$ y la partición en subconjuntos que contienen exactamente dos puntos, los puntos se antipodal (en los extremos opuestos de un diámetro). $P$ es la resultante espacio de identificación.

Ahora, ¿qué es homeomórficos a $P$? Mi intuición me dice que debe ser un semicírculo. Pero no podía construir una homeomorphism.

Answer 1

Identificar antipodal puntos en el círculo:

Forma el espacio de identificación:

Moviéndose a lo largo de este espacio, usted vuelve a donde empezó... como en un círculo:

(original gifs aquí y aquí; me uní a ellos, porque cuando se carga en diferentes momentos en el navegador, no permanecer en sincronización)

Esta correspondencia entre los puntos de $P$ y los puntos de $S^1$ es un homeomorphism.

PlotUpTo[angle_, colorscale_] := 
 ParametricPlot[{Cos[t], Sin[t]}, {t, 0, ángulo}, PlotStyle -> Espesor[0.05],
 ColorFunctionScaling -> False,
 ColorFunction -> Función[{x, y}, Hue[colorscale (Arg[-x - I y] + Pi)/(2 Pi )]],
 PlotRange -> Todos, PlotRangeClipping -> Falso, ImageSize -> {300}, Ejes -> None]

AnimatedMarker[time_, speed_] := Gráficos[{PointSize[0.05], 
 Punto[{Cos[velocidad 2 Pi], Sin[velocidad 2 Pi tiempo]}],
 Blanco, PointSize[0.03], Seleccione[{Cos[velocidad 2 Pi], Sin[velocidad 2 Pi tiempo]}]}]

AnimatedPlot[angle_, colorscale_, time_, speed_] := 
 Mostrar[PlotUpTo[ángulo, colorscale], AnimatedMarker[velocidad]]

Exportación["animation.gif", Tabla[Rasterizar[
 TableForm[{{AnimatedPlot[Pi, 2, t, 1/2]}, {AnimatedPlot[2 Pi, 1, t, 1]}},
 TableSpacing -> {10, 0}]], {t, 0, 1, 0.01}], "DisplayDurations" -> {0.04}]

Answer 2

Empezar con $S^1$, como en la primera figura a continuación. Mantenga en$c'$$c$, y voltear a la derecha para formar un $\infty$ signo, como en la segunda figura. Ahora dobla los bucles juntos en un solo bucle, como en la tercera figura. Todo coincide correctamente para darle su espacio cociente: es $S^1$ nuevo.

Answer 3

Considerar el (complejo) de la función de $f(z) = z^2$ desde el círculo sobre sí mismo (ver el plano como el plano complejo). Esto identifica exactamente la antipodal puntos en el círculo. Este mapa induce un homeomporphism entre el $S^1$ modulo esta equivalencia y $S^1$.

Answer 4

Creo que su espacio es homeomórficos a la real proyectiva de la línea de $\mathbb{R}P^1$.

$\mathbb{R}P^1$ es el espacio de una dimensiones de los subespacios de $\mathbb{R}^2$. Mira en la página de la wiki, como se puede ver real proyectiva línea es homeomórficos a $S^1$. Así que lo que se obtiene después de su construcción es el círculo de nuevo.

De hecho, si usted hace su construcción en más dimensiones. Tome $S^n$ y pegamento antipodal puntos y consigue $\mathbb{R}P^n$. Pero por ejemplo en dos dimensiones $\mathbb{R}P^2$ no es homeomórficos a la esfera ya que el plano proyectivo tiene género 1.