Primera nota de que la hipótesis implica que el $f_n$ convergen pointwise a $f$. Para ver esto, considere la constante secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ donde $x_n=x$ por cada $n\in\Bbb N$: $$\langle f_n(x):n\in\Bbb N\rangle=\langle f_n(x_n):n\in\Bbb N\rangle\to f(x)\;.$$
Ahora supongamos que $f$ es no continua en $x$, y deje $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle\to x$ ser tal que $\langle f(x_n):n\in\Bbb N\rangle$ no converge a $f(x)$. A continuación, hay un $\epsilon>0$ tal que $|f(x_n)-f(x)|\ge\epsilon$ para infinidad de $n\in\Bbb N$, así que usted puede encontrar una larga $\langle x_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle$ tal que $|f(x_{n_k})-f(x)|\ge\epsilon$ por cada $k\in\Bbb N$. Desde $\langle x_{n_k}:k\in\Bbb N\rangle\to x$, usted podría asumir desde el principio que tenemos una secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ e una $\epsilon>0$ tal que $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle\to x$ $|f(x_n)-f(x)|\ge\epsilon$ todos los $n\in\Bbb N$.
Por hipótesis de $\langle f_n(x_n):n\in\Bbb N\rangle\to f(x)$. Elija $n_0\in\Bbb N$, de modo que $|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon/2$ todos los $n\ge n_0$; podemos hacerlo, ya que el $f_n$'s convergen pointwise a $f$. Ahora elija $n_1>n_0$, de modo que $|f_n(x_1)-f(x_1)|<\epsilon/2$ todos los $n\ge n_1$. Continuar de esta manera a la construcción de un aumento de la secuencia de $\langle n_k:k\in\Bbb N\rangle$ tal que $|f_n(x_k)-f(x_k)|<\epsilon/2$ todos los $n\ge n_k$.
Ahora forma una nueva secuencia $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle$ como sigue:
$$y_n=\begin{cases}
x_0,&\text{if }n\le n_0\\
x_k,&\text{if }n_{k-1}<n\le n_k\text{ for some }k\ge 1\;.
\end{casos}$$
No es difícil ver que $\langle y_n:n\in\Bbb N\rangle\to x$: es sólo la secuencia de $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ con cada término repetido algún número finito de veces. Tenga en cuenta que $y_{n_k}=x_k$ por cada $k\in\Bbb N$. Por lo tanto, para cada una de las $k\in\Bbb N$ tenemos $f_{n_k}(y_{n_k})=f_{n_k}(x_k)$, que por la elección de $n_k$ implica que el $|f_{n_k}(y_{n_k})-f(y_{n_k})|<\epsilon/2$.
Ahora $\langle f_n(y_n):n\in\Bbb N\rangle\to f(x)$, lo $\langle f_{n_k}(y_{n_k}):k\in\Bbb N\rangle\to f(x)$, y debe haber un $k\in\Bbb N$ tal que $|f_{n_k}(y_{n_k})-f(x)|<\epsilon/2$. Pero, a continuación,
$$|f(y_{n_k})-f(x)|\le|f(y_{n_k})-f_{n_k}(y_{n_k})|+|f_{n_k}(y_{n_k})-f(x)|<\frac{\epsilon}2+\frac{\epsilon}2=\epsilon\;,$$
lo cual es una contradicción: $|f(y_{n_k})-f(x)|=|f(x_k)-f(x)|\ge\epsilon$.
Por lo tanto, $f$ debe ser continua en $x$.
