Una Combinatoria Prueba de Dixon de la Identidad

Question

Dixon la Identidad de los estados: $$\sum_{k} (-1)^k\binom {a+b}{b+k}\binom{b+c}{c+k}\binom{c,+} {+k} = \binom{a+b+c} {a,b,c}$$

Un poco de historia: El caso $a=b=c$ fue demostrado por Dixon en 1891 el uso de las integrales trigonométricas. Demostró que el caso general, 11 años más tarde el uso de otros métodos analíticos. En 1916, MacMahon demostró su maestro teorema que da otra pequeña prueba analítica para la identidad.

Utilizando el WZ-método, Zeilberger dio una breve prueba en 1990 (con la ayuda de su equipo). En 2003, Víctor Guo dio una breve prueba el uso de polinomios.

Pero lo que realmente me interesa son la combinatoria de las interpretaciones.

1. Zeilberger da una prueba usando la señal de inversión de involuciones en esta conferencia (a partir de 39:30). ¿Existe en algún papel? Yo creo que él lo atribuye a Foata en esta opinión.

2. En esta monografía por Foata, parece ser que hay una combinatoria prueba de Dixon de la identidad y de otras identidades (páginas 37 a 40). Yo no era capaz de entender la parte en páginas 37-38, donde el siguiente es derivado de la combinatoria: $$\binom{b+c}{c+k}\binom{c,+} {+k}\binom{a+b}{b+k}=\sum_{n\ge |k|} \binom{a+b+c-n}{a-n,b-n,c-n,n+k,n-k}$$ Donde ambas partes parecen contar gráficos con la siguiente matriz de adyacencia: $$\begin{bmatrix} 0 & c+k & b-k \\ c-k & 0 & +k\\ b+k & -k & 0 \end{bmatrix}$$ El LHS cuenta directamente, y la CARTA de las cuenta por la descomposición mediante el uso de 5 ciclos básicos: $1\2 \1$ (apareciendo $a-$ n veces), $1\3 \1$ ($b$ n veces), $2\3 \2$ ($c$ n veces), $1\2 \3 \1$ ($n+k$ veces), $1\3 \2 \1$ ($n-k$ veces). Pero yo no entiendo muy bien la forma en que realmente cuenta.

   Aquí una foto de las páginas correspondientes:

3. Es el papel de las "100 años de Dixon de la identidad" por James Ward (publicado en 1991 en el Irish Matemática Boletín de la Sociedad"), disponible en línea?

Answer 1

Aquí están algunas observaciones sobre la identidad de las pruebas relacionadas con su segunda pregunta. Esperemos que le hará entender todo, siéntase libre de preguntar más acerca de este prueba.

Comentario 1 Brian Hopkins comentario es la mitad correcta y la mitad incorrecta. De hecho, es cierto que los bucles están prohibidas (esto es indicado por la "$i\neq j$" declaración sobre la segunda línea de p.37). Por otro lado, múltiples aristas son definitivamente necesarios (y permite) : de lo contrario, difícilmente podría multiplicar dos ciclos juntos y a toda prueba sería un contrasentido.

Observación 2 Su ciclo no es un contraejemplo, como puede ser descompuesto como $[123][132]$ o $[132][123]$, dependiendo de cómo el número de sus múltiples los bordes. Es muy importante recordar que las múltiples aristas están NUMERADOS, esto es lo que nos permite hacer que el producto de los ciclos de ser no-conmutativa (ver la definición del producto en el medio de la p.15).

Observación 3 Los enteros $a,b,c,n,k$ en las fórmulas (1),(2),(3) en la parte inferior de la página 37 son definidas de forma exclusiva por $$a=\varepsilon_3+\frac{\varepsilon_4+\varepsilon_5}{2}, \ b=\varepsilon_2+\frac{\varepsilon_4+\varepsilon_5}{2}, \ c=\varepsilon_1+\frac{\varepsilon_4+\varepsilon_5}{2}, \ n=\frac{\varepsilon_4+\varepsilon_5}{2}, \ k=\frac{\varepsilon_4-\varepsilon_5}{2}$$

Observación 4 Hay un error tipográfico en la fórmula de matriz $$ N en la parte superior de p.38 : el $(3,2)$ coeficiente debe ser $a+k$ (no $b-k$ como se imprime).