¿Sufrirá un paquete de ondas una dispersión al viajar por una cuerda colgante?

Question

Supongamos que ato un extremo de una cuerda al techo y el otro a un punto del suelo justo debajo. Como la cuerda tiene cierta masa, la tensión varía a lo largo de la cuerda, desde la más alta en el techo hasta la más baja en el suelo.

Si un paquete de ondas comienza a propagarse por la cuerda, ¿cambiará su forma? Si es así, ¿es posible calcular la forma de un paquete de ondas gaussianas mientras se propaga por la cuerda?

Intuitivamente, me parece que el paquete de ondas cambiará de forma por dos razones. En primer lugar, las porciones más altas de la cuerda tienen mayor tensión y, por tanto, mayor velocidad. Alcanzarán a las porciones del paquete de ondas que están más abajo. En segundo lugar, como la tensión cambia, la ecuación de la onda tiene ahora un término relacionado con la primera derivada del desplazamiento de la cuerda.

En concreto, he intentado suponer que el desplazamiento de la cuerda es sólo horizontal y que la pendiente de la cuerda nunca se aleja de la vertical. Hice $y$ una coordenada que mide desde el suelo y $x$ una coordenada a la derecha. Dejando que la tensión sea $T(y) = T_0+\lambda g y$ con $\lambda$ la masa por unidad de longitud, obtuve la ecuación de onda ( editar: importante error tipográfico corregido)

$$\frac{\partial^2{x}}{\partial t^2} = g \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{T_0+\lambda g y}{\lambda} \frac{\partial^2 x}{\partial y^2}$$

pero no sé qué hacer con él.

Answer 1

Utilizaré la siguiente notación para ser lo más coherente posible con la wiki (en caso de que quieras ir y venir entre mi respuesta y las definiciones de la wiki para el poisson y exponencial .)

$N_t$ el número de llegadas durante el período de tiempo $t$

$X_t$ el tiempo que tarda en llegar una persona más, suponiendo que alguien haya llegado a la hora $t$

Por definición, las siguientes condiciones son equivalentes:

$ (X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

El evento de la izquierda recoge el caso de que no haya llegado nadie en el intervalo de tiempo $[t,t+x]$ lo que implica que nuestro recuento del número de llegadas en el momento $t+x$ es idéntico al recuento en el momento $t$ que es el evento de la derecha.

Por la regla del complemento, también tenemos:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Utilizando la equivalencia de los dos eventos que hemos descrito anteriormente, podemos reescribir lo anterior como

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Pero,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

Utilizando el poisson pmf el anterior donde $\lambda$ es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y $x$ una cantidad de unidades de tiempo, se simplifica a:

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

es decir

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Sustituyendo en nuestra eqn original, tenemos:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Lo anterior es la cdf de una pdf exponencial.

Answer 2

No creo que sea posible obtener una solución analítica para eso, pero podría estar equivocado. Conceptualmente, lo que tienes es una situación en la que la velocidad de la onda varía a medida que te mueves a lo largo de la cuerda, como la raíz cuadrada de la tensión local ( $v\propto \sqrt{T(y)}$ ). Esto es análogo a cosas como las olas de agua que suben por una playa (donde la velocidad de la ola depende de la profundidad), así que ese podría ser un lugar para buscar consejos sobre las matemáticas.

Este escenario es también algo similar al caso de la ecuación de Schrodinger en un potencial lineal (una pelota que rebota verticalmente bajo la influencia de la gravedad, digamos), aunque la ecuación de Schrodinger es sólo de primer orden en el tiempo, por lo que ese es otro lugar en el que se podrían buscar soluciones.