Hallar la solución fundamental del operador biarmónico $\Delta^2=\Delta(\Delta)$ ?

Question

Demuestre que cuando $n=2$ la función $u(x)=-\dfrac{1}{8\pi}\left\lvert x\right\rvert^2\log\left\lvert x\right\rvert$ es una solución fundamental del operador biarmónico $\Delta^2=\Delta\left(\Delta\right)$ . Es decir, demostrar que $$\varphi(0)=\int_{\Bbb R^2}u(x)\,\Delta^2\varphi(x)\,dx$$ para todas las funciones $\varphi$ suave con soporte compacto.

Mi intento:

Mi primera confusión: la pregunta dice que es equivalente a mostrar $\varphi(0)=\int_{\Bbb R^2}u(x)\,\Delta^2\varphi(x)\,dx$ . ¿Por qué? Teniendo en cuenta la definición, creo que es $\;0=\int_{\Bbb R^2}u(x)\,\Delta^2\varphi(x)\,dx\;$ en lugar de $\varphi(0)$ . ¿En qué me equivoco?

Mi segunda confusión es que parece que puedo calcular directamente $\Delta u=-\dfrac{1}{2\pi}\Big(1+ \log\left\lvert x\right\rvert\Big)$ entonces es obvio $\,\Delta\left(\Delta u\right)=0$ . ¿Es suficiente para probar esta pregunta?

El cálculo de $\Delta u(x)$ es la siguiente: $$u_{11}=-\dfrac{1}{8\pi}\left[2\ln\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2}+\dfrac{2x_1^2}{x1^2+x_2^2}+1\right)\right]$$ y $$u_{22}=-\frac{1}{8\pi}\left[2\ln\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2}+\dfrac{2x_2^2}{x1^2+x_2^2}+1\right)\right],$$ así que $$\Delta u=u_{11}+u_{22}=-\frac{1}{2\pi}\Big(1+\log\left\lvert x\right\rvert\Big).$$

¿Podría alguien ayudarnos? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Tenga en cuenta que $u(x)$ tiene una singularidad en $0$ (el logaritmo no está definido en $0$ ) y hay que solucionarlo. Dividir la integral sobre una bola $\mathbb{B}(0,\epsilon)$ centrado en el origen y con radio $\epsilon$ y el resto del espacio $\mathbb{R}^2\setminus \mathbb{B}(0,\epsilon)$ y, a continuación, analizar cada integral por separado. Esto se puede escribir como
\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^2}u(x)\Delta^2\varphi(x)dx=\int_{\mathbb{B}(0,\epsilon)}u(x)\Delta^2\varphi(x)dx+\int_{\mathbb{R}^2\setminus \mathbb{B}(0,\epsilon)}u(x)\Delta^2\varphi(x)dx. \end{equation*} Tomando el módulo obtenemos el límite \begin{equation*} |\int_{\mathbb{B}(0,\epsilon)}-\frac{1}{8\pi}|x|^2\log|x|\Delta^2\varphi(x)dx| \leq c\sup_{x\in\mathbb{R}^2}|\Delta^2\varphi(x)||\int_{\mathbb{B}(0,\epsilon)}|x|^2\log|x|dx|. \end{equation*} ¿Puedes demostrar que esto va a cero como $\epsilon\to 0$ utilizando coordenadas polares? Para la segunda integral, utiliza el teorema de la divergencia dos veces. Integrar sobre el límite de la bola (denotado $\partial \mathbb{B}(0,\epsilon)$ ) y mostrar todo va a $0$ .

Espero que le sirva de ayuda.