Deje $U\subset\mathbb R^3$ ser un conjunto abierto, y $f:U\to \mathbb R$ ser una función suave. Supongamos que el conjunto de nivel de $S=f^{-1}(\{0\})$ es no vacío, y que en cada una de las $p\in S,$ el gradiente $\overrightarrow \nabla f(p)$ no es el vector cero. A continuación, $S$ es una suave superficie de dos dimensiones en $U$, e $p\mapsto \overrightarrow \eta(p)=\frac{1}{||\overrightarrow \nabla f(p)||}\overrightarrow \nabla f(p)$ define un suave unidad de longitud normal de campo vectorial a lo largo de $S$. En cada una de las $x\in U,$ escritura $H(f)_{(x)}$ $3\times 3$ de la Arpillera de la matriz especificada por $$(H(f)_{(x)})_{ij}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(x).$$ Muestran que, en cada una de las $p\in S$, la segunda forma fundamental $II_p: T_p(s)\times T_p(s)\to \mathbb R$ es el bilineal simétrica mapa $$II_p(\overrightarrow v,\overrightarrow w)=\frac{-1}{||\overrightarrow \nabla f(p)||}\overrightarrow v\cdot H(f)_{(p)}\overrightarrow w,$$for all $\overrightarrow v ,\overrightarrow w \en T_p(s) de dólares.
(Aquí, podemos ver el tagent espacio de $T_p(S)$ como el de dos dimensiones subespacio $(span\{ {\overrightarrow \eta(p)}\})^{\bot}$$\mathbb R^3$.
Edit: en Realidad mi pregunta es ¿por qué la segunda forma fundamental en virtud de la definición habitual puede ser escrito de esta forma.
Definición: La forma cuadrática $II_p$, definidos en $T_p(S)$ $II_p(v)=-<d N_p(v),v>$ se llama la segunda forma fundamental de la $S$ $p$ donde $dN_p:T_p(S)\to T_p(S)$ es el diferencial de Gauss mapa.
Esperemos que, expreso este problema de forma explícita. Me estaba preguntando cómo comprobar esta afirmación.
Me tomó un diffrential clase de geometría en el último semestre, y cuando he organizado mis notas esta mañana, me encontré con esta declaración, pero no había ninguna prueba...
Mirando hacia adelante a una explicación comprensible. Gracias de antemano.
Edit 2:por otra parte, muestran que, en cada punto de $p\in S$, la expresión $$\phi_p(z)=det\pmatrix{-H(f)_{(p)}-zI_{3\times 3} & \overrightarrow \nabla f(p)\\\ \pm \overrightarrow \nabla f(p)& 0}$$ (la matriz subyacente aquí es $4\times 4$) define un segundo grado del polinomio cuyas raíces se $\lambda_1$ $\lambda_2$ $||\overrightarrow \nabla f(p)||k_1$ $||\overrightarrow \nabla f(p)||k_2$ donde $k_1$ $k_2$ son los principales curvaturas de $S$$p$.
También, si un no-vector cero $\pmatrix {\overrightarrow v \\c}$ se encuentra en el núcleo de la $4\times 4$ matriz $$\pmatrix{-H(f)_{(p)}-\lambda_jI_{3\times 3} & \overrightarrow \nabla f(p)\\\ \pm \overrightarrow \nabla f(p)& 0},$$ a continuación, $\vec v$ es un elemento no nulo de a $T_p(S)$ y se encuentra en la "dirección principal" correspondiente a $K_j$.
