Cualquiera de los dos puntos en una Piedra espacio puede ser desconectado por clopen conjuntos

Question

Deje que $B$ a ser una Piedra en el espacio (compacto Hausdorff, y totalmente desconectado). Entonces yo soy básicamente cierta (porque de Piedra del teorema de representación) que si $a, b \in B$ son dos puntos distintos en $B$, $B$ puede ser escrito como una discontinuo de la unión $U \taza de V$ de abrir conjuntos de donde $a \in U, b \in V$.

Sin embargo, me parece que no puede demostrar de manera directa. La prueba debe ser bastante sencillo, así que estoy seguro de que me estoy perdiendo algo obvio. (Como un ejercicio para mí, estoy tratando de probar Piedra del teorema de representación, y necesito esto como un lexema.)

Answer 1

Antes de demostrar el hecho de que usted desea, tenemos la noción de quasicomponents y algunas proposiciones básicas acerca de él. En estos términos, usted está preguntando si distintos puntos están en distintas quasicomponents. Deje que $X$ ser un espacio topológico. Dado $x,y \in X$, definir $x \sim y$ si $X$ no puede ser escrito como un discontinuo de la unión de abrir conjuntos de $U$ y $V$ que contiene a $x$ y $y$, respectivamente. Es sencillo comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia se llama la quasicomponents de $X$. Es fácil demostrar que la quasicomponent de un punto $$ x es la intersección de todos cerrado abierto subconjuntos de $X$ con $x$.

En cada espacio topológico, el componente $C$ de un punto $$ x está contenida en el quasicomponent $Q$ en el punto $$ x. De hecho, si $F$ es un conjunto abierto que contiene a $x$, entonces $X = F \cup (X-F)$ es una separación de $X$. Desde $C \cap F \ne \emptyset$, se sigue que $C \subseteq F$. Así tenemos $C \subseteq Q$.

Voy a probar ahora, con base en Engelking de la prueba en el libro de Topología General, que en cada compacto de Hausdorff espacio, componentes y quasicomponents coinciden. Vamos a $C$ y $Q$ como el anterior. Sólo tenemos que demostrar que la quasicomponent $Q$ es conectado. A continuación, se sigue que $ Q = C$. Supongamos que $Q = X_1 \taza de X_2$, donde $X_1, X_2$ son dos cerrados disjuntos subconjuntos del espacio $P$. Entonces $X_1$ y $X_2$ se cierra en $X$, ya que $P$ es cerrado en $X$. Por la normalidad de compacto de Hausdorff espacios, existen abiertos disjuntos subconjuntos de $U,V$ de $X$ con $X_1, X_2$, respectivamente. Por lo tanto, tenemos $Q \subseteq U \taza de V$ y, por compacidad, existen cerrado-abierto conjuntos $F_1, \ldots, F_k$ que

$$Q \subseteq \bigcap_{i=1}^k F_i \subseteq U \copa V.$$

$F = \bigcap_{i=1}^k F_i$ es claramente cerrado-abierto. Desde $ \overline{U \cap F} \subseteq \overline{U} \cap F = \overline{U} \cap (U \V copa) \cap F = U \cap F$, la intersección de $U \cap F$ es también cerrado-abierto. Como $x \U, \cap F$, tenemos $Q \subseteq U \cap F$ y $X_2 \subseteq Q \subseteq U \cap F \subseteq U$. De ello se sigue que $X_2 \subseteq U \cap V = \emptyset$, lo que demuestra que el conjunto $Q$ es conectado.

Ahora es fácil de demostrar su declaración. Deje que $B$ a ser una Piedra en el Espacio. Desde $B$ es compacto Hausdorff, quasicomponents coinciden con los componentes. $B$ es totalmente desconectados, por lo que el quasicomponent de un punto de $a \in B$ es $\{a \}$. Si $b \in B$ es un punto diferente, entonces $b$ no está en la quasicomponent de $a$. Por lo tanto, existen abiertos disjuntos conjuntos $U,V$ con $a,b$, respectivamente, tales que $B = U \taza de V$.

Añadido Esto fue motivado por Pete respuesta. En realidad, para demostrar que un localmente compacto Hausdorff totalmente desconectado de espacio $X$ es cero-dimensional, solo tenemos lo que he probado para el compacto de Hausdorff espacios. Efectivamente, supongamos que $x \in X$ y $$ U un conjunto abierto que contiene a $x$. Dado que $X$ es regular, existe un conjunto abierto $V$ que contiene a $x$ tal que $\overline{V}$ es compacto y $\overline{V} \subseteq U$. También, $\overline{V}$ es totalmente desconectados de espacio. Utilizando el hecho de que quasicomponents y componentes coinciden en un compacto Hausdorff espacios, tenemos que el quasicomponent de $x$ en $\overline{V}$ es $\{x\}$. Ahora, la compacidad de $\overline{V}$ garantiza que no están cerrados a abrir conjuntos de $F_1, \ldots, F_k$ tales que $x \in F_1 \cap \cdots \cap F_k \subseteq V$. Deje que $F$ en $\bigcap_{i=1}^k F_i$. Entonces $F \,$ es un conjunto abierto en $V$ y desde $V \, $ es abierto en $X$, $F \, $ es abierto en $X$. También, $F \,$ es compacto, ya que cada $F_i$ es un subconjunto cerrado del espacio compacto $\overline{V}$, entonces $F\,$ se cierra en $X$. Llegamos a la conclusión de que para cada conjunto abierto $U$ con $x$, no es un conjunto abierto $F \ $ tales que $x \in F \subseteq U$. Por lo tanto $X$ es cero-dimensional.

Answer 2

El punto de esta respuesta es principalmente para proporcionar algo de la terminología con la que se expresa la distinción aquí.

Un espacio topológico es totalmente desconectado si el único vacío conectado subconjuntos son el singleton conjuntos. De forma equivalente, los componentes conectados son todos singleton conjuntos.

Un espacio topológico es cero-dimensional si se admite una base de clopen [es decir, a la vez abierto y cerrado] conjuntos.

Un espacio topológico es separado (más tradicional: $T_1$) si todas las singleton conjuntos son cerrados.

Primero una observación sencilla: Una totalmente desconectado espacio está separado.

(Prueba: de lo Contrario, el cierre de un punto daría un mayor componente conectado.)

Segundo sencillo de observación: En un separado cero-dimensional espacio de $X$, para cualesquiera dos puntos distintos de $x_1$, $x_2$, existe una separación $X = U_1 \coprod U_2$ con $x_i \en U_i$. (En la terminología de Nuno de la respuesta-que es relativamente estándar si no se conocen bien -- la conclusión es que el cuasi-componentes son singleton conjuntos.) En particular, $X$ es totalmente desconectados.

(Prueba: Deja de $x_1$, $x_2$ ser distintos puntos en $X$. Dado que $X$ es separado, $N = X \setminus \{x_1\}$ es abierto. Por definición de una base, existe un clopen $U_1$ con $x \in U_1 \subconjunto de N$ y $U_1$, $U_2 = X \setminus U_1$ es la deseada separación.)

Por el contrario, tenemos las siguientes

Trivial resultado: Un localmente compacto Hausdorff espacio es cero-dimensional iff es totalmente desconectados. Por ejemplo, este artículo de la wikipedia da una referencia.

Tenga en cuenta que Nuno de la respuesta (que debe ser aceptado, de la OMI) da una prueba de ello en el caso compacto.

Tal vez un limpiador de enfoque es "redefinir" una Piedra espacio para ser un espacio compacto Hausdorff y cero-dimensional. Luego, cuando se le da un espacio en el que alguien dice que es una Piedra espacio, la primera cosa que voy a hacer es buscar una base de clopen conjuntos, que tiende a ser una buena idea de todos modos. Por ejemplo, dado cualquier profinite espacio (es decir, una relación inversa límite finito de espacios discretos, sin embargo, otro término para la misma clase de espacios!) es muy fácil hacer esto.