Un problema en isomorfo secciones de localmente trivial vector de paquetes

Question

Deje $E=(E,\pi,X)$ ser localmente trivial vector paquete de más de un compacto Hausdorff espacio de $X$. Deje $\Gamma(E)$ ser el conjunto de todas las secciones en E. estoy tratando de demostrar que $E$ es ismorphic a la trivial bundle $X\times\mathbb{C}^n$ si y sólo si $\Gamma(E)$ es isomorfo a $C(X)^n$ $C(X)$- módulos.

La primera implicación es fácil. Y para la reversión de uno, mi attempty hasta el momento es el uso de la Serre-Swan el Teorema de garantizar la existencia de $k$ y un localmente trivial vector paquete de $F$ tal que $E\oplus F$ es isomorfo a $X \times \mathbb{C}^k$. Por lo tanto tenemos

$$C(X)^n \oplus \Gamma(F) \simeq \Gamma(E) \oplus \Gamma(F) \simeq C(X)^k.$$

Desde $C(X)$ es unital anillo ($X$ es compacto) y $\Gamma(F)$ es C(X)-módulo, existe una matriz idempotente $p \in M_m(R)$ algunos $m$, de tal manera que $\Gamma(F) \simeq pC(X)^m$. Por lo tanto, obtenemos

$$(1 \oplus p)C(X)^{n+m} \simeq C(X)^n \oplus pC(X)^m \simeq C(X)^k.$$

Y esto sólo puede suceder si $(1_n \oplus p) \sim 1_k$ donde $\sim$ es una relación de equivalencia en el conjunto de $\mathcal{I}_{\infty}$ de idempotents $C(X)$ lo que significa que existe algunas matrices $a \in M_{(n+m) \times k}(C(x))$ $b \in M_{k \times (n+m)}(C(X))$ tal que $ab=1_n \oplus p$$ba=1_k$.

A partir de este punto, estoy tratando de probar, hasta ahora sin éxito, que el $p$ debe $0$ o $m$ debe $0$ y, por tanto, $\Gamma(F)=\left\{0\right\}$ lo que me permite asegurar que $E$ es ismorphic a la trivial bundle $X×C^n$.

Alguien me puede ayudar en esto o sugerir otra manera de demostrar que la inversión de implicación? Estoy agradecido de cualquier ayuda!

Answer 1

Este enfoque no puede trabajar, porque de la existencia de forma estable trivial paquetes (como, por ejemplo, la tangente paquete a $S^2$). Compacto Hausdorff entrará en la prueba en dos lugares: 1) la necesidad de particiones de la unidad, que le da 2) usted necesita vector haces para sumar a un trivial paquete.

Una manera de demostrar que es el completo teorema de la categoría de proyectiva finitely generadas $C(X)$-módulos es equivalente a la categoría de vector de paquetes de más de $X$. Entonces porque equivalencias de categorías de preservar isomorphisms, el isomorfismo $\Gamma(E) \cong C(X)^n$ es enviado a un isomorfismo $E \cong \oplus_n \mathbf 1$.

Lo que realmente necesita es la inversa functor $F: C(X)-\text{Mod}_{proj,fg} \to \text{VB}(X)$ a la obvia functor en la otra dirección; no sé una manera fácil de construir. Si se podría, entonces usted ve que conserva isomorphisms, como se desee. (Aquí, sólo estamos construyendo mostrando que la obvia functor es una equivalencia de categorías.) Pero en ausencia de este, el teorema en sí no es demasiado difícil de probar; he aquí una fuente.