Buena métrica en $C^k(0,1)$ $C^\infty(0,1)$

Question

¿Cuál sería una buena medida en $C^k(0,1)$, el espacio de k veces continuamente diferenciable real de las funciones con valores en (0,1) y $C^\infty(0,1)$, el espacio de infinitamente diferenciable real de las funciones con valores en (0,1)?

Es, por supuesto, abierto a la interpretación de lo buenas que decir, quiero que se lleve una buena noción de convergencia y unitize la apertura del intervalo, así como el k veces/infinito continuamente diferenciable de la propiedad. Esta es una pregunta que yo quiero pensar más acerca de entender métrica de los espacios mejor. Gracias.

EDIT: Y lo de los cambios si es en $[0,1]$?

Answer 1

Pregúntate a ti mismo si los espacios de $C^k(0,1)$ son de interés.

EDIT: yo también sugieren pensar más acerca de, y por lo tanto la formalización de la noción de una 'buena', la métrica de un espacio. Usted podría encontrar que una buena medida es la que induce una topología en el espacio que tiene propiedades deseables para la realización de un análisis, como local convexidad, se está completa, la de Heine-Borel de la propiedad, un interesante espacio dual, etc.

Desde $(0,1)$ es la unión de countably muchos conjuntos compactos $K_n$ tal que $K_n\subset\text{int}K_{n+1}$, luego definimos $C(0,1)$ como el espacio de todos los real continua de las funciones con valores en $(0,1)$ con la topología inducida por la familia de la separación de semi-normas: $$ p_n(f):=\sup_{x\in K_n}|f(x)|. $$ Entonces los conjuntos $$ V_n:=\{f\in C(0,1)\;|\;p_n(f)<1/n\},\qquad n=1,2,... $$ formar un local convexo base para $C(0,1)$. Esta topología es, de hecho, inducida por la métrica $$ d(f,g):=\max_n\frac{1}{2^n}\frac{p_n(f-g)}{1+p_n(f-g)} $$ Esta métrica es completa, por lo $C(0,1)$ se convierte en un Frechet espacio.

El espacio de $C^\infty(0,1)$ se define como el espacio de todas las funciones con valores de $f$ $(0,1)$ con la propiedad de que $D^kf\in C(0,1)$ todos los $k\in\mathbb{N}_0$. La elección de la misma compacto conjuntos de $K_n$ como en el anterior, la siguiente familia de semi-normas undices un metrizable, localmente convexa de la topología en $C^\infty(0,1)$: $$ p_n(f):=\max_{x\in K_n,\;k\leq n}|D^kf(x)|. $$ La métrica de este espacio es de la misma forma que el anterior. Se puede demostrar que este espacio es también un Frechet espacio y, además, tiene la de Heine-Borel de la propiedad, por lo que se deduce que no es normable (la métrica no es inducida por una norma). En el espacio de $C^\infty(0,1)$ se construye el espacio de las distribuciones con soporte compacto, que son lineales funcionales que se continua con respecto a la anteriormente definida la topología.

Para generalizar lo anterior, usted debe reemplazar $(0,1)$ con cualquier subconjunto abierto de $\Omega\subset\mathbb{R}^m$, y permitir a $k$ a de ser un multi-índice.

Otra función continua de espacios en los que usted podría estar interesado en:

(i) el espacio $\mathcal{D}_K$ que es el espacio de todos los $f\in C^\infty(\mathbb{R}^m)$ tal que $\text{supp}f\subset K$ donde $K\subset\Omega$ es compacto. Se puede demostrar que $\mathcal{D}_K$ es un subespacio cerrado de $C^\infty(\Omega)$.

(i) el espacio de Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m)$, lo cual es importante para el análisis de Fourier. En este espacio se consructed el espacio de templado de distribuciones, que se compone de funcionales lineales que son continuas con respecto a la topología adecuada definida en el espacio de Schwartz.

(ii) el espacio de funciones de prueba de $\mathcal{D}(\Omega)=C^\infty_0(\Omega)$, lo cual es importante para el espacio de Sobolev y de la PDE teoría. El espacio de las distribuciones se construye en este espacio, y se compone de todos los funcionales lineales que son continuas con respecto a la topología adecuada en $\mathcal{D}(\Omega)$. Esta topología es un reto de definir y de entender, pero es fácilmente caracteriza en términos de convergencia.

Por mucho, la mejor referencia para todas estas cosas es Rudin del libro en el análisis funcional. Ver también Yosida del libro en el análisis funcional, DiBenedetto, el libro de análisis real y Knapp, el libro de análisis avanzado.

Answer 2

Podemos definir las métricas $$d(f,g):=\sum_{n=1}^{+\infty}2^{-n}\min\left\{1,\max_{0\leqslant k\leqslant n}\max_{n^{-1}\leqslant x\leqslant 1-n^{-1}}|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)|\right\}\quad\mbox{on } C^\infty(0,1)$$ $$d_N(f,g):=\sum_{n=1}^{+\infty}2^{-n}\min\left\{1,\max_{0\leqslant k\leqslant N}\max_{n^{-1}\leqslant x\leqslant 1-n^{-1}}|f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)|\right\}\quad\mbox{on } C^N(0,1).$$ Esto le da información sobre el comportamiento de las funciones y sus derivados en compacto intervalos. Sumando esto nos ayuda a conocer el comportamiento en $(0,1)$. Además, uno puede comprobar que $C^\infty(0,1)$ $C^N(0,1)$ dotado de la correspondiente métricas están completas.

Tenga en cuenta que me acaba de utilizar el hecho de que los naturales de las topologías en $C^k(0,1)$ $C^\infty(0,1)$ son generados por una contables de la familia de semi-normas.

Podemos dar una generalización cuando reemplazamos $(0,1)$ por cualquier subconjunto abierto de $\Bbb R^d$, $d\geqslant 1$.

Answer 3

El espacio de $C^k([a,b])$ es una normativa espacio para cada una de las $k$, y para cada par $a < b$ de los números reales con la norma

$\|f\|_{C^0} = \sup_{x\in[a,b]} |f(x)|$ $k=0$

y

$\|f\|_{C^k} = \sum_{|s|\le k} \|\partial^sf\|_{C^0}$ $k>1$

(Para el $C^0$-caso, es importante que el intervalo es cerrado, ya que existen funciones continuas que viven en $(a,b)$, pero no son limitados (es decir, corren hacia $\infty$ si $x\to a$ o $x\to b$).)

Demostrando la norma axiomas de la $C^0$ de los casos no es trivial, pero debe estar contenida en los libros de texto en análisis funcional. Con esto, lo que demuestra la norma axiomas de la $C^k$-el caso es trivial.

Ahora, cada norma induce una métrica: $d(f,g) := \|f-g\|_{C^k([a,b])}$.

Además, estas normas hacen de $C^k$ un espacio de Banach (cada secuencia de Cauchy converge en el mismo espacio). Una prueba de esta declaración también deberá ser incluida en el análisis funcional de los libros de texto.

Espero que esto ayude un poco.

P. S.: Un buen análisis funcional de libros de texto en alemán sería "Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis" en mi opinión. Todas las pruebas a las que me insinuado anteriormente y mucho más se puede encontrar allí.

P. P. S: Para abordar algunos más de sus preguntas: en General, la noción de una norma es "mejor" (como en la más buena ;) ) que una métrica, ya que le da un poco de conocimiento de la 'longitud' o 'tamaño' de elementos, no sólo la distancia entre ellos. Como se mencionó anteriormente, este es más general.

En el finito dimensionales caso, uno puede mostrar que cada norma es equivalente, lo que significa que inducen la misma topología (con todas las métricas se pueden definir "abrir pelotas', que son una base de una topología). Esta declaración es conocida como la de Heine-Borel teorema.

Sin embargo, en el caso de infinitas dimensiones (como $C^k$), existen diferentes normas que no son equivalentes. La norma para $C^k([a,b])$ he dicho anteriormente es, sin embargo, en general, el más utilizado norma en estos espacios, y debe ser suficiente para el lineal básica de análisis funcional - por lo que yo sé.

No puedo decir si esto es el 'mejor' métrica, pero esta es una opinión ampliamente utilizada. Por todo lo que acabo de escribir, el libro que he mencionado anteriormente es una buena referencia, especialmente en los primeros capítulos, donde la topología, las normas y las métricas son tratados.