¿Qué tipos de conjuntos se añaden mediante el forzamiento de Cohen?

Question

Estoy intentando hacerme una idea de qué tipos de conjuntos se añaden forzando. Pido disculpas de antemano, esta pregunta puede ser difícil para mí para poner precisamente en palabras. Pongamos un ejemplo muy sencillo:

Sea $\mathbb{P}$ sea el conjunto de todas las funciones parciales finitas $p:\omega\to 2$ ordenados por inclusión inversa. Si $G$ es un genérico para $\mathbb{P}$ en $V$ entonces $F:=\bigcup G$ es la función característica de un subconjunto cofinal de $\omega$ o, alternativamente, una función total con un número ilimitado de $0$ y $1$ 's.

En particular, este conjunto $X$ no estaba en el modelo de tierra. Digamos que el modelo terrestre es el universo en el que vivo. Así que $F$ es distinta de cualquier $\omega$ -de 0 y 1 que se me ha ocurrido. Aquí es donde estoy confuso en las cosas (por ejemplo, "llegar a" es vaga y probablemente la cuestión crítica), ¿alguien me puede dar alguna intuición aquí para ir?

Answer 1

Esta pregunta es más o menos el meollo del forzamiento, pero también es algo difícil de responder. Me ceñiré a los ejemplos. (Si esto es insuficiente, deja comentarios e intentaré mejorar).

En primer lugar, tras añadir $G$ (y por tanto $F$ ), ya que la extensión también satisface $\mathsf{ZF(C)}$ todos los conjuntos definibles a partir de $F$ (y elementos del modelo de suelo $V$ ). Ejemplos triviales son $\{ F \}$ , $\{ \{ F \} \}$ , $\langle F , \{ F \} \rangle$ etc. Los conjuntos $F^{-1} [ \{ 0 \} ]$ y $F^{-1} [ \{ 1 \} ]$ se añaden. Para cualquier $g \in {^\omega}2 \cap V$ vas a añadir $F + g$ (suma puntual módulo $2$ ). También se añadirá el conjunto de todos esos reales (funciones). (Este último conjunto se añade porque $V$ es una clase definible en $V[G]$ por lo que se puede hablar de $\{ F+g : g \in {^\omega}2 \cap V \}$ en la ampliación).

Obsérvese que si alguno de estos conjuntos perteneciera a $V$ entonces se podría utilizar ese conjunto para demostrar que $F$ también es un elemento de $V$ . ( $F$ es el único elemento de $\{F\}$ . $F$ es la función característica de $F^{-1} [ \{ 1 \} ]$ . $F$ es $(F+g)-g$ para cualquier $g \in {^\omega}2 \cap V$ .) Esto demuestra que estos conjuntos son necesariamente añadido .

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Para no trivial ejemplos de conjuntos añadidos al añadir un real de Cohen, las cosas se complican un poco más, y se requiere un análisis más fino del forzamiento para averiguarlo. Sólo daré un par de ejemplos de tipos de conjuntos añadidos:

• En

  J. Roitman, Añadir un aleatorio o un real de Cohen: consecuencias topológicas y efecto sobre el axioma de Martin Fondo. Math. 103 (1979), nº 1, 47-60, MR0535835 , enlace

  se demuestra que al añadir un real de Cohen también se añade un subespacio de ${^{\omega_1}}2$ con una propiedad determinada (es un espacio L fuerte ).

• En

  S. Shelah, ¿Puede llevarse lo inaccesible de Solovay? Israel J. Math. 48 (1984), nº 1, 1-47, MR0768264

  se demuestra que añadiendo un real de Cohen se añade un árbol de Souslin.

(Ninguno de los objetos anteriores puede existir suponiendo $\mathsf{MA} + \neg \mathsf{CH}$ por lo que cuando se añade un Cohen real a un modelo de $\mathsf{MA} + \neg \mathsf{CH}$ destruyes el Axioma de Martin).