Respuesta. Sí, hay un ejemplo. Deje $k$ ser un campo, vamos $R = k [a, b] / (a^2, a b, b^2)$, $A = R [x] / (a - b x, x^2)$, $B = R [y] / (b - a y, y^2)$; entonces
$$A \otimes_R B \cong R [x, y] / (a - b x, x^2, b - a y, y^2) \cong k [a, b, x, y] / (a^2, a b, b^2, a - b x, x^2, b - a y, y^2)$$
pero
\begin{align}
a & = (a - b x) + (b - a y) x + (a - b x) x y + (x^2) b y \\
b & = (b - a y) + (a - b x) y + (b - a y) x y + (y^2) a x
\end{align}
por lo $(a, b) \subseteq \ker (R \to A \otimes_R B)$. (En realidad, desde la $A \otimes_R B \ne \{ 0 \}$, el núcleo es exactamente $(a, b)$.) En particular, $R \to A \otimes_R B$ no es inyectiva.
Observe que en el ejemplo anterior, la problemática de los elementos de $R$ son nilpotent. De hecho, esta es la única posibilidad, al menos al $R$ es noetherian y tanto $A$ $B$ son finitely generadas $R$-álgebras. Esto se entiende mejor geométricamente.
Considere la posibilidad de la retirada diagrama de noetherian afín a sistemas en los que todos los morfismos son finitos tipo, decir:
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
X \times_S Y @>>> Y \\
@VVV @VVV \\
X @>>> S
\end{CD}$$
Supongamos $X \to S$ $Y \to S$ son dominantes (que es la débil condición de tener el esquema de la teoría de la imagen igual a $S$). Por Chevalley del teorema, el conjunto de la teoría de las imágenes de $X \to S$ $Y \to S$ edificable, por lo que ambos contienen una densa abrir subconjunto de $S$. Desde la intersección de la densa abrir subconjuntos densos, se deduce que el $X \times_S Y \to S$ es dominante, según sea necesario. Por lo tanto, el ideal de la gavilla del esquema de la teoría de la imagen de $X \times_S Y \to S$ estar contenida en el nilradical.
Bono de respuesta. Un argumento lógico (es decir, la compacidad) muestra que si hay un ejemplo en donde la $A \otimes_R B = \{ 0 \}$, entonces no debe ser un ejemplo en donde la $R$, $A$ y $B$ son finitely presenta como anillos conmutativos. Pero entonces estamos en la situación anterior, por lo $A \otimes_R B = \{ 0 \}$ implica que el $1$ es nilpotent, es decir,$R = \{ 0 \}$.
