Calcular las clases de equivalencia

Question

Definir una relación de equivalencia en $\mathbb{R}^2$ $\textbf{x}\sim\textbf{y}$ fib $\exists A\in GL_2(\mathbb{R})$ tal que $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$. Calcular las clases de equivalencia de esta relación de equivalencia.

Mi intento:

Deje que $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.

$\Mathbf{x}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\forall\en GL_2(\mathbb{R})$

Por lo tanto, parece que el vector cero reside solo en su clase de equivalencia.

Mi corazonada es que todos los demás (distinto de cero) vectores de residir en otros equivalencia de la clase, haciendo un total de 2 clases de equivalencia. Pero no sé cómo probar esto ya no parece ser una manera obvia para resolver la matriz $A$ en la ecuación de $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$.

Por favor alguien puede decirme cómo proceder?

Answer 1

Considere la posibilidad de $x=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

Considere la posibilidad de $A=\begin{pmatrix}\lambda & 0\\0&\mu\end{pmatrix}$, donde $\lambda$, $\mu$ son cero, de modo que $A$ es invertible y, por tanto, en $GL_2(\mathbb{R})$.

A continuación,$Ax=\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\end{pmatrix}$.

Así que todos los vectores $\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\end{pmatrix}$, $\lambda,\mu$ tanto distinto de cero están en la misma clase como $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

La pregunta final es ¿qué hay de aquellos vectores con un componente distinto de cero? Podemos ver que ellos también están en la misma clase de equivalencia:

$\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\\c\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\\c\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

Answer 2

Gracias, yoyostein!

Creo que tengo una solución geométrica.

Deje $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ ser de cualquiera de los 2 distinto de cero puntos en $\mathbb{R}^2$. Deje $\mathbf{x}=(r_1, \theta_1)$ $\mathbf{y}=(r_2, \theta_2)$ en coordenadas polares.

Para transformar el punto de $\mathbf{x}$ a punto de $\mathbf{y}$ por la multiplicación de la matriz, se debe rotar $\mathbf{x}$ hacia la izquierda por $\theta=\theta_2-\theta_1$ y expanden o se contraen por un factor de $\displaystyle\frac{r_2}{r_1}$.

Para girar, se multiplica por la matriz $B=\begin{bmatrix} \cos(\theta_2-\theta_1) & -\sin(\theta_2-\theta_1) \\ \sin(\theta_2-\theta_1) & \cos(\theta_2-\theta_1) \end{bmatrix}$

Para expandir o contraer, se multiplica por la matriz $C=\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{r_2}{r_1} & 0 \\ 0 & \displaystyle\frac{r_2}{r_1} \end{bmatrix}$

Ya que ambas matrices son invertible, su producto $A=BC$ también es invertible. Por eso, $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ donde $A$ es invertible. Así, cualquiera de los dos a cero los puntos de residir en la misma clase de equivalencia.

Answer 3

Cada vector distinto de cero es parte de una base.

Dado $x,y \in \mathbb R^2$ cero vectores, vamos a $X=\{x,x'\}$ se ordenó una base que contenga $x$ $Y=\{y,y'\}$ se ordenó una base que contenga $y$. Deje $A=YX^{-1}$. A continuación,$Ax=y$.