Arreglos de bolas de una bolsa de

Question

Una bolsa contiene $2$ rojo, $2$ verde, $2$ negro, $3$ blancos, $1$ amarillo, $1$ marrón y $1$ bola de color naranja.

De cuántas maneras, las bolas de ser dispuestos en una fila tomando todos ellos juntos si las bolas del mismo color no puede ser colocada junto?

Soy consciente de que $\dfrac{12!}{2!\times 2! \times 2! \times 3!}$ arreglos son posibles. Pero estos acuerdos contienen bolas de los mismos colores colocados adyacentes también. ¿Cómo resolver este problema?

Answer 1

Esta respuesta se basa en la generación de la función de generalizada polinomios de Laguerre \begin{align*} L_k^{(\alpha)}(t)=\sum_{i=0}^k(-1)^k\binom{k+\alpha}{k-i}\frac{t^i}{i!}\tag{1} \end{align*}

Los polinomios de Laguerre tienen notables propiedades combinatorias y uno de ellos es precisamente el adecuado para responder a los problemas de este tipo. Esto está muy bien presentado en el Conteo de palabras con Laguerre serie por Jair Taylor.

Nos codificar los colores (r)ed, (g)creen, (b)falta, (w)hite, (y)ellow, (B)integral, (o)la gama de las bolas con las letras \begin{align*} \{r,g,b,w,y,B,o\} \end{align*} y están en busca de palabras de longitud $12$ construido a partir de \begin{align*} r,r,g,g,b,b,w,w,w,y,B,o \end{align*} que tienen la propiedad de que no contienen consecutivos iguales letras. Estas palabras se llaman Carlitz palabras o Smirnov palabras.

Nos encontramos en la sección 2 de la referida papel polinomios de Laguerre $l_k(t)$ definido por su función de la generación de \begin{align*} \sum_{k=0}^\infty l_k(t)x^k=e^{\frac{tx}{1+x}} \end{align*} El primer par de dichos polinomios son \begin{align*} l_0(t)&=1\\ l_1(t)&=t\\ l_2(t)&=\frac{1}{2}t^2-t\\ l_3(t)&=\frac{1}{6}t^3-t^2+t\tag{2} \end{align*} Estos polinomios son una forma específica de polinomios de Laguerre (1), es decir, $$l_k(t)=(-1)^kL_k^{(-1)}(t)$$

Teorema 2.1 en el referido documento señala: Dados los números enteros no negativos $n_1,\ldots,n_k$, el número de $k$-ary Carlitz palabras con la letra $i$ utiliza exactamente $n_i$ veces es \begin{align*} \int_{0}^\infty e^{-t}\left(\prod_{i=1}^kl_{n_i}(t)\right)\,dt\tag{3} \end{align*}

Ya tenemos tres caracteres $r,g,b$ cada dos veces, un carácter $w$ tres veces y tres caracteres $y,B,o$ cada ocurren una vez, hemos establecido \begin{align*} &n_1=n_2=n_3=2,\\ &n_4=3,\\ &n_5=n_6=n_7=1 \end{align*}

Aplicamos el teorema 2.1. y obtener el uso de (2) y (3) y con la ayuda de Wolfram Alpha \begin{align*} \int_{0}^\infty&e^{-t}\left(\prod_{i=1}^7l_{n_i}(t)\right)\,dt\\ &=\int_{0}^\infty e^{-t}\left(l_2(t)\right)^3l_3(t)\left(l_1(t)\right)^3\,dt\\ &=\int_{0}^\infty e^{-t}\left(\frac{1}{2}t^2-t\right)^3\left(\frac{1}{6}t^3-t^2+t\right)t^3\,dt\\ &=\int_{0}^\infty e^{-t}\left(\frac{1}{48}t^{12}-\frac{1}{4}t^{11}+\frac{9}{8}t^{10} -\frac{29}{12}t^9+\frac{5}{2}t^8-t^7\right)\,dt\\ &=3301200 \end{align*}

Answer 2

Esta pregunta es equivalente a

"En cuántas formas diferentes podemos acordar las letras de la palabra AABBCCDDDEFG tal que no hay dos letras adyacentes son iguales?"

He estado haciendo muchas de estas preguntas en pasado. Esta herramienta es muy útil. El siguiente es el resultado obtenido de esta herramienta.
[ver generados pregunta $24$. El pensamiento de retying aquí. pero como dije en mi comentario, es muy largo y pegar la captura de pantalla aquí]