¿Qué tan lejos puedo desarrollar la teoría de la representación a partir de la categoría de la teoría?

Question

Un poco de historia: actualmente estoy aprendiendo un poco sobre la categoría de teoría. Estudié básicos de la teoría de la representación en el último semestre (definiciones, el teorema de Maschke y Schur lema, las tablas de caracteres, ... para grupos finitos y espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$). Con el fin de comprender el material que estoy leyendo de Tom Leinster del libro (Categoría Básica de la Teoría), me decidí a reformular algunas de las definiciones de mis lecturas acerca de la representación en el lenguaje de la categoría de teoría (ejemplos a continuación).

Por ejemplo, en mis notas acerca de la teoría de la representación, se define una representación lineal como un homomorphism de un grupo de $G$ $GL(V)$para un espacio vectorial $V$. Como un primer ejemplo, podemos ver una representación lineal como un functor de $G$ (visto como una categoría con un solo elemento) a la categoría de espacios vectoriales sobre un campo $k$.

A continuación, se suelen definir la noción de isomorfo representación lineal. En mis notas de la conferencia, fue definida como un $G$-equivariant isomorfismo. Si no me equivoco, podemos decir que los dos representaciones $F : G \rightarrow \mathbf{Vect_k}$ $H : G \rightarrow \mathbf{Vect_k}$ son isomorfos si $F \cong G$ en la categoría de $[G, \mathbf{Vect_k}]$ (es decir, hay algunos invertible transformación natural entre el$F$$H$).

Es mi primera vez leyendo acerca de la categoría de teoría, así que podría decir que algunos de los absurdos. En mi comprensión actual del sujeto, categoría teoría es principalmente acerca de la búsqueda de patrones en aparentemente diferentes objetos, y por lo tanto, no permite entender cada pequeño detalle (porque es ahí a generalizar los conceptos).

Así que mi pregunta es: ¿qué tan lejos puedo ir a la reescritura de la teoría de la representación en términos de la categoría de la teoría de los objetos? Tal vez (signo de interrogación), Schur lema o el teorema de Maschke podría ser posible volver a escribir, pero para los más avanzados de los resultados, me pregunto...

Answer 1

RE: los comentarios: representaciones de grupos y tiembla ambos son casos especiales de la representación de las categorías. Si $R$ es un anillo, entonces un $R$-representante de un grupo es un representante de su $R$-grupo de álgebra; $R$- rep de un temblor es un representante de su $R$-ruta de álgebra; usted puede ver una $R$-álgebra como un $R$-lineal de la categoría con un objeto; y la categoría de los módulos a través de una $R$-el álgebra es una $R$-lineal (normalmente abelian) de la categoría.

Todo lo que se ve en un primer curso de teoría de la representación puede ser codificado en la categoría de teoría, si usted realmente desea. Maschke del teorema dice que (si $R$ es un campo de carácter coprime a la orden de $G$) de la categoría $C$ $R$- representantes de $G$ es semisimple. Hay un emparejamiento en los objetos de $C$ definido por $\langle W,V\rangle= dim\ Hom_C(W,V)$, y esta es la costumbre de emparejamiento sobre los personajes. Frobenius la reciprocidad es el hecho de que la restricción y la inducción son adjunto, como se ha mencionado en los comentarios. Los principales resultados han interpretaciones similares.

En una configuración básica, todo esto es muy interesante, pero gran parte de la investigación actual en la teoría de la representación implica el conocimiento de las propiedades de las categorías de representaciones. La razón por la que usted nunca realmente ver a la gente ir al esfuerzo de hacer semisimple representantes de grupos finitos categóricamente es que no hay mucha razón. La fuerza de la categoría de la teoría es en realidad en la organización de resumen de los resultados, y sugiere maneras en que usted puede estudiar algunos de los nuevos objetos que usted puede no saber mucho acerca de. Quisiera sugerir que la mejor manera de pensar acerca de las cosas podría ser para el tratamiento de la traducción de los principales teoremas básicos de la teoría de representaciones de grupos categóricos idioma, y luego tener esta categoría como un excelente ejemplo de una abelian categoría. Esto puede dar un buen juguete ejemplo para la teoría general!

Edit: debo decir que el resumen representante de la teoría de grupos finitos sobre "buenas" campos es "completamente categórico", pero esto es sólo cuando se mira en "datos generales", por la que me refiero en general teoremas cierto para cualquier grupo finito. Pero la mayoría de la investigación se centra en específico (clases de) grupos, por ejemplo, grupos finitos de tipo de Mentira. Hay un montón de fenómenos que podrían no tener un limpio categórica de la interpretación (por ejemplo, reducibilidad de la parabólica de inducción, Deligne--Lusztig teoría); normalmente, estos tipos de resultados implican estrictamente más débil categórica resultados (en estos ejemplos, te hablan de bloquear la descomposición de las categorías), ya que incluyen no categórica de información-dan explícita representantes de isomorfismo clases de objetos. En otras palabras, una vez que usted desea conseguir sus manos sucias y hacer algo útil a la teoría de la representación, usted probablemente tendrá que dejar el mundo de la categoría de teoría!

También, un par de palabras de advertencia: una vez que deje el mundo de los grupos finitos, o una vez que usted permite que su coeficiente de anillo de $R$ a convertirse en lo suficientemente "malo", las cosas pueden ser más difíciles; de empezar el encuentro topológica de los problemas que pueden hacer que la categoría de la teoría un poco más desagradable.