Cómo evaluar $\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}}\right)^{x^2\sin\left(1/x\right)}$?

Question

Cómo evaluar $\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}}\right)^{x^2\sin\left(1/x\right)}$?

Yo:

$$\lim _{x\to \infty }\left(x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\ln\left(\frac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}}\right)\right) = \lim _{t\to 0 }\left(\frac{1}{t^2}\sin\left(t\right)\ln\left(\frac{\frac{1}{t}+3}{\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{5}{t}}}\right)\right)$$ Ahora $\sin(x) \approx x, x \rightarrow 0$ así: $$\approx \lim _{t\to 0 }\left(\frac{1}{t}ln\left(\frac{\left(3t+1\right)\sqrt{-5t+1}}{1-5t}\right)\right)$$

En este punto he utilizado la regla de l'Hôpital así: $$\lim _{t\to 0 }\left(\frac{1}{t}ln\left(\frac{\left(3t+1\right)\sqrt{-5t+1}}{1-5t}\right)\right) = \lim _{t\to 0}\left(\frac{\frac{-15t+11}{2\left(-5t+1\right)\left(3t+1\right)}}{1}\right) = \frac{11}{2}$$ Así: $$\lim _{x\to \infty }\left(\left(\frac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}}\right)^{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right) = \color{red}{e^\frac{11}{2}}$$ Cual es el resultado exacto de la propuesta de límite.
Mi pregunta es, hay otro método, diferente de la mía para obtener el mismo resultado? (De preferencia sin tener que recurrir a la regla de l'Hôpital).

Answer 1

Estás haciendo tu propia vida más difícil. ;-) , Pero su idea es buena.

Después de tomar el logaritmo, solicitar la sustitución de $x=1/t$ donde no es restrictivo suponer $x>0$ ( $x>5$ ); tenga en cuenta que $$ \frac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}}=\frac{1+3t}{\sqrt{1-5t}}, $$ así que usted tiene $$ \lim_{t\to0^+}\frac{\sen t}{t^2}\ln\frac{1+3t}{\sqrt{1-5t}}= \lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+3t)-\frac{1}{2}\ln(1-5t)}{t} $$ debido a $\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1$ (por supuesto, condicionalmente a la existencia del límite último).

Esto puede ser reescrita $$ 3\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+3t)}{3t}+ \frac{5}{2}\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1-5t)}{-5t}=3+\frac{5}{2} $$ o con Taylor hasta grado $1$, $$ \lim_{t\to0^+}\frac{3t+\frac{5}{2}t+o(t)}{t}=3+\frac{5}{2} $$

Answer 2

Observe que $$\frac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}} = \left(\dfrac{x^2+6x+9}{x^2-5x}\right)^{1/2} = \left(1+ \dfrac{11x+9}{x^2-5x}\right)^{1/2}.$$

Mediante el establecimiento $y = \dfrac{x^2-5x}{11x+9}$ y desde $x \rightarrow \infty \implies y \rightarrow \infty$, obtenemos

$$ x = \dfrac{5+11y + \sqrt{121y^2+146y+25}}{2}.$$

Por lo tanto, $$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}}\right)^{x/2} = \lim_{y \rightarrow \infty} \left( 1+\dfrac{1}{y}\right)^{\left(\dfrac{5+11y + \sqrt{121y^2+146y+25}}{4}\right)} = $$ $$= \lim_{y \rightarrow \infty} \left( 1+\dfrac{1}{y}\right)^{5/4}\cdot \left( 1+\dfrac{1}{y}\right)^{11y/4}\cdot \left( 1+\dfrac{1}{y}\right)^{11y/4\cdot \left(\sqrt{1+146/(121y)+25/(121y^2)}\right)} = e^{11/2},$$

Desde $g(y) = \sqrt{1+ \frac{146}{121y}+\frac{25}{121y^2}}$ es continua y $\lim_{y \rightarrow \infty} g(y)$ existe.

Sin embargo, $$\lim_{x \rightarrow \infty}\dfrac{\sin(1/x)}{1/x} = 1.$$

Por lo tanto, tenemos

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2-5x}}\right)^{x^2\sin\left(1/x\right)} = e^{11/2}.$$