Suma de series infinitas dadas

Question

Hallar la suma de series infinitas

$$\frac{1}{4}+\frac{2}{4 \cdot 7}+\frac{3}{4 \cdot 7 \cdot 10}+\frac{4}{4 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 13 }+....$$

Generalmente hago estas preguntas encontrando la suma de $n$ términos y luego poner $ \lim{n \to \infty}$ pero aquí no soy capaz de encontrar la suma de $n$ condiciones. ¿Podría alguien sugerir cómo proceder?

Answer 1

Observe que

$$\frac k{\prod_{m=1}^k(3m+1)}=\frac1{3\prod_{m = 1}^{k-1} (3m+1)}-\frac{1}{3\prod_{m = 1}^k (3m+1)}$$

Lo que nos da una serie telescópica: $$S_N=\frac{1}{3} - \frac{1}{3\prod_{m = 1}^N (3m+1)}$$

que tiende a $1/3$ como se sospecha.

Answer 2

Las sumas parciales, según Maple, son $$-{\frac {2\,{3}^{1/2-N}\pi}{27\,\Gamma \left( 4/3+N \right) \Gamma \left( 2/3 \right) }}+\frac{1}{3} $$ Debería ser posible demostrarlo por inducción.