Demuestra que $6<3^\sqrt3$ implica $3^\sqrt3 < 7$

Question

Considera la doble desigualdad: $$6<3^\sqrt3 < 7$$ Utilizando $solo$ las propiedades elementales de los exponentes e desigualdades (sin calculadora, computadora, tabla de logaritmos, o estimación de 3 se pueden utilizar), prueba que la primera desigualdad implica la segunda.

FUENTE: "Desigualdades propuestas en Crux Mathematicorum" (Número de página 14; Número de pregunta 627)

No tengo idea de cómo resolver este problema. Intenté tomar logaritmos, pero eso no ayudó. Sospecho fuertemente que se tiene que utilizar alguna desigualdad. Intenté AM-GM en algunos grupos de términos, pero eso solo lo complicó más.

Wolfram Aplha da el valor de ${3^{\sqrt {3}}}$ como $\approx 6.7049918538258$.

¿Alguien puede darme una pista de cómo resolver este problema?

Answer 1

Reclamo: $7 > 3^{\sqrt 3}$. De lo contrario $$7^\sqrt 3 \le 27 < 28 = 7*4 \\ 7^{\sqrt 3 - 1} < 4 \\ 48 < 7^2 < 4^{\sqrt 3 + 1} \text{(ya que }(7^{\sqrt 3 - 1})^{\sqrt 3 + 1} = 7^{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1)} = 7^{(\sqrt 3)^2 - 1^2} = 7^2{)} \\ 3 < 4^{\sqrt 3 - 1} \: \text{(dividiendo por 16)}\\ 3^{\sqrt 3 + 1} < 4^2 = 16 < 18 \\ 3^\sqrt 3 < 6$$ ...y tenemos una contradicción con una declaración dada.

Answer 2

$$6=(6^3)^{\frac{1}{3}}=216^{\frac{1}{3}}<243^{\frac{1}{3}}=(3^5)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{5}{3}}<3^{\sqrt{3}},$$ porque $$\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}<3=\left(\sqrt{3}\right)^2.$$ Dado que $$\left(\sqrt{3}\right)^2=3=\frac{48}{16}<\frac{49}{16},$$ entonces $$\sqrt{3}<\frac{7}{4}.$$

Por lo tanto $$3^{\sqrt{3}}<3^{\frac{7}{4}}=(3^7)^\frac{1}{4}=2187^{\frac{1}{4}}<2401^{\frac{1}{4}}=(7^4)^{\frac{1}{4}}=7.$$