Esta podría ser una pregunta inusual, pero me preguntaba por qué la 2ª derivada de esta función es una línea recta? Los que tengo la sensación de que esto no es fácil de responder. Pero me pareció que es exactamente lineal.
Aquí una foto:
Quiero decir, sí, matemáticamente, se puede decir que simplemente es como es, pero también hay una respuesta intuitiva a ella? Gracias por contestar!
Saludos!
Supongamos que la segunda derivada de una función es una línea recta:
f″
De ello se sigue que
f'(x)=\frac12ax^2+bx+c
f(x)=\frac16ax^3+\frac12bx^2+cx+d
Así que las únicas funciones que tienen su segunda derivados como líneas rectas son polinomios de grado 3 o inferior.
Ahora, por un poco de perspicacia, solo hay que preocuparse de la primera derivada de la x^2, lo cual es obviamente 2x, pero quiero hacerlo más intuitivo:
En lugar de dejar que h\to0, se corrige h=1 y acaba de tomar diferencias finitas. Es bastante fácil ver que la (x+1)^2-x^2=2x+1=1+\frac d{dx}x^2.
Del mismo modo, si se aplica una diferencia finita en x^3 2 veces, que es análoga a la segunda derivada, obtenemos
(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1
3(x+1)^2+3(x+1)+1-3x^2-3x-1=6x+6=6+\frac{d^2}{dx^2}x^3
De hecho, usted debe ser capaz de demostrar por inducción que la nth derivada de un polinomio de grado n+1 es lineal.
Y como último comentario, por lo general, cuando tenemos h\to0, todos los de la izquierda sobre las constantes y tal vaya a 0.
Creo que estás confundido. La segunda derivada de cualquier función arbitraria no tiene necesariamente que ser una línea recta. Por ejemplo, la exponencial f(x) = e^x tiene segunda derivada f''(x) = e^x, lo que es claramente no lineal. Es posible llegar a aproximaciones lineales en una vecindad de un punto, y 3º de grado de los polinomios de la forma g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d siempre tendrá segunda derivados que son líneas rectas. Pero para funciones arbitrarias este no es el caso en general.
Entiendo que esto es matemáticas.stackexchange, por lo que las respuestas que ya han sido ciertamente sonido. Sin embargo, usted dice que usted estaba buscando algo un poco más intuitiva.
La derivada de una función sólo describe la pendiente de dicha función. Cuando la función es creciente, su pendiente (derivada) será positivo. Cuando se está incrementando "más rápido", su derivada será más positiva. De forma similar, cuando la función es decreciente, su derivada será negativa.
El diagrama se ha publicado líneas de puntos extraídos de la parte superior de la curva en puntos de inflexión, donde la pendiente cambia de positivo a negativo. Observe cómo se sienten atraídos hacia el centro de la curva (parábola) exactamente donde se cruza con el eje de las x.
La derivada de la parábola es negativo, mientras que la parábola es decreciente y positiva, mientras que el aumento de. Eso por sí solo no es garantía de una línea recta:
f(x) = x^4 es muy "parábola" en forma, y de la inspección inicial, usted puede esperar que sea una parábola, pero la derivada termina siendo cúbicos: f'(x) = 4x^3.
La segunda derivada no está garantizado a ser una línea recta para cualquier función arbitraria f(x); sólo describe la "inclinación de la pendiente" de esa función.
Voy a hacer un intento de responder a esta parte:
es también una respuesta intuitiva a ella?
Recordemos que la derivada de una función es una función que lleva un x-valor de la entrada, se considera que la tangente de la línea dibujada en ese x-valor, y da la pendiente de la recta tangente como su salida.
Mirando la primera foto, tiene dos puntos de inflexión, por lo que tendrá un derivado que tiene dos ceros. También se puede ver que la función, mientras que inicialmente el aumento de (lo: positivo pendientes de las tangentes de las líneas), es hacerlo a una tasa decreciente hasta que alcanza su vértice (así: la tangente a las líneas menos empinada hasta su pendiente llega a cero). Después, la función es decreciente (así: negativas pendientes de las tangentes líneas) bastante rápido hasta que su media de puntos de la línea, punto en el cual continúa disminuyendo (así: línea tangente pendientes son todavía negativo) pero no tan rápidamente a medida que se aproxima el siguiente vértice (donde la recta tangente de la pendiente es de nuevo de cero).
Que es de todo un poco prolijo, pero el mismo tipo de idea puede ser llevada a cabo en la búsqueda en la segunda imagen. Tiene un vértice (así: su derivada debe ser igual a cero sólo una vez) y que va desde los muy negativa de la tangente a la línea de pendientes muy grandes positiva de la recta tangente a cuestas (así: una línea recta parece ser un buen candidato).
Yo creo que teniendo en cuenta que una función cuadrática escrito en forma estándar, ax^2 + bx + c, y recordando que su vértice se produce cuando x = -b/2a, es suficiente para adivinar (el uso de la intuición) no sólo que la derivada corresponde a una función lineal, sino que, en particular, la derivada es 2ax + b. Escribí esta idea y la colocó como el segundo ejemplo en el siguiente artículo, publicado en una revista de la educación matemática, que puede (o no) de su interés:
Dickman, B. (2016). Mirando hacia Atrás para Apoyar la Resolución de problemas. Profesor De Matemáticas, 110(1), 54-58. Link (no paywall).
Mire su primera función f(x), es claramente:
Hay por lo tanto dos puntos de inflexión (donde la pendiente cambia de positivo a negativo, o viceversa) en el rango de f(x). Esto nos dice que su primera derivada f'(x) (como se muestra) debe ser:
Por lo tanto, existe un punto de inflexión en el rango de f'(x). Esto nos dice que su segunda derivada f''(x) (como se muestra), por la misma lógica, tienen cero puntos de inflexión.
Funciones polinómicas con cero puntos de inflexión son, por definición, lineal.
(Nota, siempre podemos aproximado de la función en el intervalo dado de su diagrama por un polinomio de acuerdo a Taylor Teorema)
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
