¿Por qué no podemos eliminar la raíz cuadrada de las empresas?

Question

En química, se define la raíz cuadrada media de la velocidad como

$\sqrt{\bar{u^2}}$ = $\sqrt{\frac{3\text{RT}}{\text{M}}}$

Un estudiante me preguntó por qué no podemos simplemente eliminar el símbolo de la raíz cuadrada. Y aparte de "porque esto es lo que nos define", que en realidad no tiene una razón.

Por lo tanto, estoy esperando que alguien puede arrojar algo de luz sobre por qué la ecuación anterior se utiliza y no:

$\bar{u^2} = \frac{3\text{RT}}{\text{M}}$

En el caso de que es importante, se emplea la siguiente ecuación para determinar la rapidez rms de un gas. Depende de la temperatura (T) y la masa molecular del gas (M). R es un valor constante. Entiendo que no sólo tiene que utilizar el promedio porque en un conjunto de gases, se mueven en una dirección al azar por lo que el promedio es de 0. Pero, por el cuadrado no se que problema resuelto, sin la raíz cuadrada?

Answer 1

$T$ tiene unidades de grados Kelvin (K). La constante de los gases $R$ tiene unidades de Joule/mol/K. La masa molecular $M$ tiene unidades de kg/mol. También recuerde que un Joule es $\mathrm{kg.m^2/s^2}$. De modo que las unidades de $3RT/M$ $$\mathrm{\frac{kg\,m^2\,K}{s^2\,mole\,K\,kg\,mole^{-1}}=\frac{m^2}{s^2}}$$ cual es la velocidad al cuadrado. Así que tomando la raíz cuadrada da a las unidades correctas para una velocidad.

Answer 2

$$\overline{u^2}=\frac{3RT}{M}$$ es perfectamente válido.

Es sólo que le da un "promedio del cuadrado de la velocidad", que es una inusual cantidad física. Usted prefiere una velocidad media (más precisamente de rms de velocidad) tomando la raíz cuadrada.

$$\langle u\rangle:=\sqrt{\overline{u^2}}.$$

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Se ha observado que el ordinario, el promedio de velocidad es de $0$. No es correcto, el ordinario promedio de velocidad es de $\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$. Posiblemente usted ha mezclado con el valor promedio de la velocidad de $\boldsymbol{u}$ o una de las velocidades de los componentes (por ejemplo,$u_x$) para lo cual es cierto.

También se puede ver que el RMS de un componente

$$\overline{u_x^2}=\overline{(u_x-\overline u_x)^2}=\sigma_{u_x}^2 = \frac{RT}{M}$$ es la varianza de la componente, mientras que

$$\langle u_x\rangle =\sigma_{u_x} = \sqrt{\frac{RT}{M}}$$ is the standard deviation, which has the same dimension as $u_x$.

Y usted puede usar esto para encontrar la desviación estándar de la velocidad:

$$\langle \boldsymbol{u} \rangle =\sigma_{\boldsymbol{u}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

que es la interpretación estadística de lo que RMS de velocidad es en realidad.

Answer 3

Mientras que la elaboración de las unidades lo señala muy bien, también se puede considerar que en:

$\sqrt{\bar{u^2}}$ = $\sqrt{\frac{3\text{RT}}{\text{M}}}$

El valor de $\sqrt{\bar{u^2}}$ en el conjunto es el resultado real, y la raíz cuadrada es parte de la forma "RMS", es escrito. El valor de $\bar{u^2}$ es poco interesante para los propósitos prácticos.

Puede ser más claro si la definición se mencionan explícitamente, como por ejemplo este:

1. La velocidad de $u$ individual de las moléculas de gas es esencialmente aleatoria. Sin embargo, no son útiles estadístico de las propiedades de la raíz cuadrada de la media aritmética de la velocidad de un gran conjunto de moléculas. Podemos llamar a esto la media de la raíz cuadrada de la velocidad de $r$, y la definen como $r = \sqrt{\bar{u^2}}$

2. Si conocemos la temperatura y las propiedades de los gases, se puede calcular el $r$$r = \sqrt{\frac{3\text{RT}}{\text{M}}}$.

Que elimina la tentación de "simplificar" la definición de RMS.

Answer 4

Creo que esta pregunta es más como una física de que se trate. Si quería que la matemática, es que ya respondió - puede cuadrado ambos lados y la fórmula estaría correcto. Pero, ¿por qué no lo hacemos?

Si usted tiene un montón de partículas de gas que podría querer de alguna manera describen su promedio de velocidad con un solo número. Bueno, tal vez no es realmente el promedio, pero a una velocidad que es característica en particular de gas en el estado que se considera. ¿Cómo podemos hacer eso?

• Velocidad promedio. Como usted bien menciona, haciendo un promedio sobre todas las velocidades de obtener 0 en muchos casos. Esto es útil en algunos casos, por ejemplo, se puede usar $\bar{\boldsymbol{v}}=(0,0,0)$ como una condición de contorno al derivar distribución de la velocidad.

Echemos un vistazo a la distribución de cuántas moléculas se mueven con cierta velocidad. Se puede ver que en realidad casi ninguna de las partículas tienen cero de la velocidad o de la velocidad. Se puede concluir que la velocidad media no es tan buena métrica para caracterizar a un estado de un gas. Si el gas se llena un recipiente, la velocidad media no se preocupa por el estado, sólo sobre el movimiento del contenedor. Así que vamos a medias sobre el grafo enlazado más arriba, vamos?

• Aveage velocidad. La velocidad es la magnitud (valor absoluto) de la velocidad. Usted podría tomar el promedio (media) de la velocidad de las moléculas de gas.
• Más probable de la velocidad. Cuando miró en el gráfico... en realidad, puede que desee utilizar la velocidad cuando el pico (máximo). Que describe la curva de bien, ¿no?
• La media de la raíz cuadrada de la velocidad. Vamos a tomar el cuadrado de la velocidad. Encontrar el valor de la media. Tomar la raíz. Suena como una pesadilla, pero en realidad es el más útil métrica. Es la velocidad que caracteriza a la energía del gas.

Las moléculas de gas se mueve con velocidades diferentes. Cada una de las moléculas tiene cierta energía cinética. Usted puede calcular el total o el promedio de la energía si se pudiera medir la velocidad y hacer un buen montón de matemáticas (que no se puede hacer en toda una vida por un contenedor de gas). Sin embargo, si todas las moléculas de gas se mueve con una cierta velocidad a la que llamamos la media de la raíz cuadrada de la velocidad de su total y el promedio de la energía cinética sería el mismo como realmente es. Como la energía es por lo general lo que nos importa a la mayoría de física/química, esta es la velocidad a la que se describen las velocidades de un gas en una forma que es útil para nosotros.

Si usted se preocupa por los demás:

• La velocidad media se describe el ímpetu de manera similar (total/promedio de la magnitud del impulso que se quedaría el mismo si las moléculas se muevan con el promedio de la velocidad).
• Velocidad promedio describe el movimiento como un todo (el movimiento del centro de masa si todas las partículas son de masas iguales, también el impulso del sistema).
• Más probable de velocidad dice que más moléculas tienen acerca de que la velocidad que cualquier otra velocidad. Para ser precisos, usted debe elegir el intervalo, digamos que toman en cuenta el número de moléculas que tienen una velocidad de +/- 10 m/s. Que el número de pf moléculas que tiene la velocidad en ese intervalo será mayor si la velocidad es la más probable de la velocidad. Que es la mejor utilidad para este número que me puede venir para arriba con.

Algunas cosas para más (aún introductoria) de leer en wikipedia.

Answer 5

La respuesta es simple: porque RMS es "la Raíz del valor promedio de los Cuadrados", es la definición.

La razón por la que no se puede saltar la raíz cuadrada es porque no va a ser un buen representante del concepto de valor de la media, y eso es porque uno tiene el cuadrado de las cantidades en el primer lugar.

Más profunda explicación de por qué hace esto es porque la velocidad al cuadrado es proporcional a la energía cinética de la partícula. Si tienen la misma masa que el RMS de las velocidades corresponden a la energía media de las partículas. Así que el RMS de la velocidad es la velocidad de una partícula con energía media ha.

La misma razón que está detrás valor RMS de voltaje. Debido a que la energía producida es $P=UI$ $I$ es proporcional a $U$ según la ley de Ohm, la potencia es proporcional a $U^2$ y por lo tanto el valor RMS corresponde a la (constante) la tensión que produce el mismo poder como la potencia media.