¿Teorema del resto chino como condición de la gavilla?

Question

El teorema del resto chino en su versión habitual dice que para un conjunto finito de ideales comaximales por pares $R/\bigcap _jI_j\cong \prod _j R/I_j$ .

En el caso binario, la siguiente afirmación general es válida sin condiciones sobre los ideales $R/(I\cap J)\cong R/I\times _{R/I+J}R/J$ . En esta pregunta Quise generalizar la versión más general a varios ideales, pero me quedé atascado y sólo ideé una justificación ad hoc para la comaximalidad por pares.

Hace unas semanas se me ocurrió por fin $R/(I\cap J)\cong R/I\times _{R/I+J}R/J$ como condición de la gavilla para una cobertura por dos elementos. Entonces me dije a mí mismo que el diagrama de abajo debe ser un ecualizador, porque la comaximidad por pares sale de él de forma muy natural. $$R/\bigcap _jI_j\rightarrow \prod _j R/I_j \rightrightarrows \prod _{i,j}R/(I_i+I_j)$$ Varios días después, satisfecho, me encontré con este comentario que para mi desgracia dice que el diagrama de arriba no es un ecualizador para más de tres ideales. Pero parece tan perfecto...

¿Puede alguien dar algunos contraejemplos que muestren por qué el diagrama anterior no es un ecualizador y explicar por qué las cosas fallan geométricamente?

Answer 1

Cada ideal $I\subset R$ corresponde a un subesquema cerrado de $\mathrm{Spec}(R)$ La intersección de ideales corresponde a la unión de subesquemas, y la suma de ideales corresponde a la intersección de subesquemas. Si una colección finita de subesquemas cerrados es un Abrir de su unión (que es el caso si y sólo si la unión es disjunta), entonces efectivamente su diagrama es un igualador, precisamente por la condición de gavilla. Pero, en general, la condición de la gavilla no se cumple para los recubrimientos por conjuntos cerrados.

Un contraejemplo: dejemos que $k$ sea un campo, $R=k[x,y]$ , $I_1=(x)$ , $I_2=(y)$ , $I_3=(x-y)$ . Entonces $\mathrm{Spec}(R)$ es el plano afín y los ideales $I_1$ , $I_2$ y $I_3$ corresponden a las líneas $L_1:x=0$ , $L_2:y=0$ y $L_3:x=y$ . La afirmación de que su diagrama es un ecualizador es equivalente a la afirmación

los datos de una función regular en $L_1\cup L_2\cup L_3$ es igual a los datos de un triple de función regular $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ en $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ respectivamente, de forma que las tres funciones tomen el mismo valor en el origen.

Esto es falso porque necesitamos una condición extra en las funciones $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ para que estas funciones determinen una función sobre $L_1\cup L_2\cup L_3$ la derivada de $f_3$ en la dirección $(1,1)$ debe ser igual a la suma de la derivada de $f_1$ en la dirección $(0,1)$ y la derivada de $f_2$ en la dirección $(1,0)$ .

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Los datos de $\prod R/I_j$ y los mapas a $\prod R/(I_i+I_j)$ corresponde a los datos de un conjunto de subesquemas cerrados y sus intersecciones por pares. Esto no es suficiente para determinar un esquema. Por ejemplo, la unión $L_1\cup L_2\cup L_3$ no es isomorfo a la unión de los ejes de coordenadas en $\mathbb{A}^3$ porque el espacio tangente al primero en el punto singular es $2$ -mientras que el espacio tangente a este último es $3$ -dimensional. Pero ambos esquemas son la unión de tres líneas, de manera que la intersección de pares es un único punto. Para el ejemplo $I_1,I_2,I_3\subset R$ arriba, el ecualizador de su diagrama es el anillo de coordenadas de la unión de los ejes de coordenadas en $\mathbb{A}^3$ en lugar de $L_1\cup L_2\cup L_3$ .