¿No comprendo sobre funciones uno a uno?

Question

En primer lugar, una definición:

Definición 1: Una función de $\phi : X \rightarrow Y$ es uno a uno si $\phi(x_1) = \phi(x_2)$ sólo al $x_1 = x_2$.

Ahora la pregunta:

A menudo, los estudiantes entienden el concepto de un uno-a-uno de la función (mapeo). Como se ve, un mapeo tiene una dirección asociada, de$A$$B$. Parece razonable esperar que un uno-a-uno de mapeo que lleva a un punto de $A$ a un solo punto de $B$, en la dirección indicada por la flecha. Pero, por supuesto, cada asignación de $A$ a $B$ hace esto, y Definición 1 no decir que en todos los. Con esta lamentable situación en mente, hacer un buen pedagógico caso como usted puede llamar a las funciones en la Definición 1 de los dos-a-dos funciones en su lugar.

Definición y pregunta siempre tan ligeramente modificado a partir de Un Primer Curso de Álgebra Abstracta por Fraleigh.

Así que este es mi pensamiento: en Primer lugar, a pesar del hecho de que la Definición 1 no decir esto, pensaba que podía ser más o menos inferido. Como en el formal, intuitivo y de la definición de un derivado, pero que más o menos significa la misma cosa. Pero, supongo que si esta se considera una de dos-a-dos el mejor argumento en el que puedo pensar es determinado $x_1 = x_2 \in A$, e $\phi(x_1):=y_1 = \phi(x_2):=y_2 \in B$, entonces el "diagrama", por así decirlo, se ve más o menos como:

$$ x_1 \rightarrow y_1 \leftrightarrow y_2 \leftarrow x_2 $$

Así que hay una especie de dos-a-dos de simetría, pero para mí, es un muy débil (no cortar la mitad de todos modos?) argumento, y no creo que esto sea lo que la pregunta es. Alguien puede explicarme lo que la mayoría de los estudiantes no entienden?

Answer 1

Busqué y encontré este comentario por Terrence Tao en un blog en este enlace:

Demasiado largo para un comentario.

Terence Tao Dice:

John H. Conway observó una vez que el común de la terminología de "uno-a-uno" para inyecciones es terriblemente engañosa, ya que sugiere que la definición de una inyección es "algo que envía una entrada a una salida" – que, en cambio, la definición de una función, no una función inyectiva. (El problema es que "uno-a-uno" está destinado a ser, en contraste con "muchos-a-uno", pero es a menudo en lugar de ver por los principiantes como contraste a "uno-a-muchos".) Él propone en su lugar la más precisa de la terminología de "dos-a-dos" (envío de dos entradas distintas a dos salidas). Esto no ha cogido, sin embargo (no es sorprendente, aunque, dada la grave aliteración).

Answer 2

Mayoría de los estudiantes (era uno de ellos) pensaron incorrectamente que función uno a uno significa que para cualquier x, f (x) sólo puede tener un valor.

Inyectiva parece ser una palabra menos confusa.

Answer 3

Re: `de modo que un inyectiva función no es necesariamente una función, en términos de la función vs relación? Que es engañoso".

Estás absolutamente en lo correcto: una relación posible es inyectiva. Una relación R de a a B es inyectiva cuando $R^{-1}\ o \ R$ está contenida en la diagonal id$_A = \{(a,a): a\in A\}$ $A\times A$ (la gráfica de la función identidad en $A$).

El único valuedness de una relación, siendo una función parcial, es el doble de la propiedad: $R$ es de valor único (una función parcial, definida en un subconjunto de a$A$) $R \ o\ R^{-1}$ está contenida en la diagonal id$_B=\{(b,b): b\in B\}$ $B\times B.$ la Dualidad es en ese $R$ se sustituye $R^{-1}.$

Ahora reemplace $\subseteq$ $\supseteq$ en la primera definición para llegar a $R^{-1}\ o \ R\supseteq$ id$_A.$ Una relación con esta propiedad es una correspondencia. Una función es un valor único de la correspondencia (dominio completo).

La doble noción de la anterior, $R \ o\ R^{-1}\supseteq$ id$_B,$ define un surjection.

Answer 4

Estoy de acuerdo en que uno-a-uno es confuso, y de acuerdo en que dos-a-dos perfectamente capta la idea. Pero el existente vocabulario está tan arraigada que incluso las recomendaciones de luminarias como Terence Tao y John Conway no va a cambiar.

Trato de convencer a mis alumnos que los matemáticos sólo definir las cosas después de que entienden lo que están tratando de definir. Realmente no se aprende de un concepto a partir de su definición, se aprende a partir de ejemplos y contraejemplos (fácil proporcionar para los diversos tipos de asignaciones). Una vez que usted entiende el concepto que usted puede hacer sentido de una definición formal, incluso si es feo, y el concepto no es buen nombre.

Answer 5

uno a uno, incomprendido: "para cada x, existe solamente un y=f(x)". Esta es la definición de una función

uno a uno: "Si tienes dos Xs diferentes, su valor de f es diferente"

"dos a dos": Si usted escoge dos Xs diferentes y evaluar la función en cada uno, obtendrá dos Ys diferentes