Teoría del número: $p!+p=n^2$, $p$ = primer

Question

Encontrar todos los números primos $p$ tal que $p!+p$ es un cuadrado perfecto.

Creo que los únicos que son cuando $p!+p=p^2$, es decir, $p\in \{2,3\}$.

¿Alguna idea en absoluto?

Answer 1

Primero que $p>3$ y ahora tenemos todos primos $q<p$ $(\frac{p}{q})=1$. Ahora como $(\frac{q}{p})(\frac{p}{q})=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$ y $p \equiv 1 (\mod 4)$ $(\frac{q}{p})=1$ para todos los primos $q<p$ y que implica $(\frac{n}{p})=1$ % todo $n<p$así, pero que es la contradicción, puesto que hay $\frac{p-1}{2}$ residuos no. Así $p=3$

Answer 2

Tenga en cuenta que para un pequeño prime $q\lt p$ tenemos que $r=(p-1)!+1\equiv 1 \bmod q$

Tenemos, por Wilson del Teorema que $pr=p^2s$ para algunos entero $s$. Ahora se nos da ese $s$ es un cuadrado y sabemos que $r$ es un residuo cuadrático $\bmod q$ (es equivalente al cuadrado de $1$).

Desde residuo $\times$ residuo = residuos y no residuos de $\times$ residuo = no-residuo, se deduce que el $p$ debe ser un residuo cuadrático $\bmod q$ por cada prime $q\lt p$.

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Esto no es una respuesta completa, pero se reduce la cuestión a algo mucho más fáciles de investigar.