¿Cómo resolver la siguiente ecuación de congruencia? $$3n^3+12n^2+13n+2\equiv0,\pmod{2\times3\times5}$ $ $t_n$ Ser el número triangular de la th de $n$ y $$t_1^2+t_2^2+...+t_n^2=\frac{t_n(3n^3+12n^2+13n+2)}{30}$ $ así que si resolvemos esta ecuación de congruencia nos encontramos con los valores de $n$ que $t_n$ divide $t_1^2+t_2^2+...+t_n^2$.
Respuestas
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Trabajo de primer modulo $2$. Podemos reescribir la congruencia como $n^3+n\equiv 0\pmod{2}$. Tenga en cuenta que esto siempre se mantiene.
Ahora trabajo modulo $3$. La congruencia puede ser reescrita como $n+2\equiv 0\pmod{3}$. Esto es precisamente si $n\equiv 1\pmod{3}$.
Por último, el trabajo modulo $5$. La congruencia puede ser reescrita como $3n^3-3n^2+3n-3\equiv 0\pmod{5}$, y luego como $(n-1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{5}$. Este tiene las soluciones $n\equiv 1\pmod{5}$, $n\equiv 2\pmod{5}$ y $n\equiv 3\pmod{5}$.
Así que las condiciones venido a $n\equiv 1\pmod{3}$ y $n\equiv 1$, $2$, o $3$ modulo $5$.
Las soluciones son, por tanto,$n\equiv 1$, $n\equiv 7$ y $n\equiv 13\pmod{15}$.
user772913
Puntos
56
Se resuelve observando diferentes de los números primos de una en una:
modulo 2:
La ecuación se convierte en $0\equiv0\pmod2$, ya que el $x^n\equiv x\pmod2$ para cada entero $x\gt0$. Por lo tanto, esta es siempre la verdad.
modulo 3:
Obtenemos ahora: $n+2\equiv0\pmod3$, es decir,$n\equiv1\pmod3$.
modulo 5:
La ecuación es $(1+n^2)(3n+2)\equiv0\pmod5,$ por lo tanto $\begin{cases}n^2\equiv4\pmod5&\text{or}\\n\equiv1\pmod5\end{cases}.$, con Lo que la solución es $n\equiv1, 2, -2\pmod5.$
Para resumir, sólo tenemos que resolver el conjunto de ecuaciones de congruencia: $$\begin{cases}n\equiv1\pmod3\\n\equiv1, 2, -2\pmod5\end{cases}.$$
Encontramos la solución al darse cuenta de que $$\begin{cases}6\equiv0\pmod3&10\equiv1\pmod3\\6\equiv1\pmod5&10\equiv0\pmod5\end{cases}.$$
En consecuencia, las soluciones son las combinaciones lineales: $n\equiv10+6a\pmod{15},$ donde $a=1, 2, -2.$ es decir, $$n\equiv1, 7, 13\pmod{15}.$$
Espero que esto ayude.
