¿La suma de las distancias desde los vértices del triángulo hacia el punto interior es menor que el perímetro?

Question

Sea $M$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ en el plano. Demuestra que $AM+BM+CM

La pregunta anterior fue planteada a alguien que conozco que está tomando geometría euclidiana de secundaria. No estoy seguro de en qué teoremas puede basarse en su demostración (aunque todos siguen de los axiomas de Euclides de todos modos), pero sé que ella no usa en absoluto la trigonometría. Acudió a mí (un matemático de formación) en busca de ayuda; y parece que no puedo probarlo. Así que acudo a todos ustedes por una prueba (usando solo hechos de geometría de secundaria).

Una cosa que puedo probar es que $\sup(AM,BM,CM)<\sup(AB,BC,CA)$. En efecto, digamos que el segmento más largo del interior es $\overline{AM}$. Deja caer una altitud (perpendicular) desde $A$ hasta el punto $D\in\overline{BC}$, y considera el lado — $\overline{AB}$ o $\overline{AC}$ — tal que $\overline{AM}$ yace entre $\overline{AD}$ y ese lado. (Si $\overline{AM}\subset\overline{AD}$, considera ya sea $\overline{AB}$ o $\overline{AC}$.) Digamos que es $\overline{AB}$. Entonces examinando el triángulo rectángulo $ADB$ se muestra fácilmente que $AMcada uno de los tres lados pueda utilizarse a su vez para uno de los segmentos interiores en esa prueba — lo cual sería suficiente para el problema anterior.

Otra idea que tuve fue probar que el ángulo $AMB$ es estrictamente mayor que el ángulo $ACB$ (y similarmente para los otros dos ángulos) y utilizar eso para probar la afirmación. Pero parece que no puedo hacer ni una cosa ni la otra: ni probar la desigualdad de medidas de ángulos, ni, asumiendo esa desigualdad, probar la afirmación buscada.

Cualquier ayuda sería muy apreciada — de nuevo, usando solo geometría de secundaria. Sospecho que hay una demostración sencilla que no estoy viendo.

Answer 1

El método consiste en probar $AC+BC>AM+BM$:

Extender $AM$, sea $ME=MB \implies \angle MBE=\angle MEB$, $AM$ corta a $BC$ en $F$ (porque $M$ está dentro del $\triangle ABC$).

Si $E$ está en $MF$, entonces $AF\ge AE=AM+ME$. $BC>CF \implies BC+AC> FC+AC>AF \ge AE=AM+BM$,

Si $E$ está en la extensión de $MF$, $\angle MBE> \angle CBE, \angle BEC>\angle MEB =\angle MBE > \angle CBE$, por lo tanto en $\triangle CEB$, $BC>CE, \implies BC+AC>AC+CE>AE=AM+BM$.

Entonces hemos demostrado que $AC+BC>AM+BM$. Por la misma razón, $BC+AB>AM+MC$, $AB+AC>BM+MC$.

Finalmente, tenemos que $AC+BC+AB>AM+BM+CM$.

edit1: manera más sencilla:

$AC +CF> AF =AM +MF, MF + BF > BM \\ \implies AC+CF+BF+MF > AM+BM+MF \\ \implies AC+BC> AM+BM$

Answer 2

Me gustaría compartir una prueba que se basa en 2 teoremas/axiomas que deberían ser conocidos por alguien que esté tomando geometría euclidiana en la escuela secundaria.

Desigualdad del Triángulo (TI):

La suma de las longitudes de cualquier par de lados de un triángulo es mayor o igual que la longitud del lado restante, donde la desigualdad es estricta si el triángulo es no degenerado (es decir, tiene un área distinta de cero).

Convexidad del Triángulo (TC):

Si se dibuja una línea recta "a través" de un triángulo, lo que significa que al menos un punto interior del triángulo pertenece a la línea, entonces la línea interseca la frontera del triángulo exactamente dos veces.

En lo que sigue, cualquier triángulo es no degenerado.

Como señaló la excelente respuesta de chenbai, es suficiente demostrar lo siguiente:

Teorema 1:

Dado un triángulo $ABC$ y un punto interior M del triángulo, tenemos que $$AM + MB < AC + CB$$

Primero demostramos un caso especial del Teorema 1:

Teorema 2:

Dado un triángulo $ABC$ y un punto $M$ que está en cualquiera de los lados del triángulo, entonces $$AM + MB < AC + CB$$

Prueba:

El caso en que $M$ coincide con cualquiera de los 3 vértices $A,B,C$ sigue inmediatamente de (TI) aplicada al triángulo $ABC$.

Supongamos entonces que $M$ no coincide con ninguno de los vértices del triángulo; necesitamos considerar 3 casos restantes.

Caso 1: $M$ está en el lado $AB$

Esto es trivial ya que $AM+MB=AB$ y por (TI) aplicada al triángulo $ABC$ tenemos que $AM+MB=AB

Caso 2: $M$ está en el lado $BC$

Considerando el triángulo $ACM$ y aplicando (TI) obtenemos $$AM Agregando $MB$ a ambos lados de la desigualdad obtenemos $AM+MB, pero $CM+MB=CB$ por lo tanto hemos demostrado que $$AM+MB

Caso 3: $M$ está en el lado $AC$.

Simplemente se sigue por simetría del Caso 2 anterior.

Finalmente podemos demostrar Teorema 1.

Primero extendamos el segmento $AM$ de manera que cruce el lado $CB$ en el punto $M'$; esto se sigue por la propiedad (TC) ya que $M$ es un punto interior del triángulo.

Por Teorema 2, tenemos

$$AM'+M'B < AC + CB \tag 1$$

Por (TI) aplicada al triángulo $BMM'$ tenemos $$MB < MM' +M'B$$ Agregando $AM$ a ambos lados de la desigualdad obtenemos:

$$AM+MB < AM + MM' +M'B \tag 2 $$

Dado que $AM + MM' = AM'$, $(2)$ se convierte en $$AM + MB < AM' + M'B \tag 3 $$

Ahora, de $(1)$ y $(3)$ por transitividad obtenemos $$AM + MB < AM'+M'B < AC + CB$$ como queríamos demostrar.

Answer 3

La distancia desde un punto fijo es una función convexa, y la suma de funciones convexas da una función convexa. Cualquier triángulo es un conjunto convexo, y las funciones convexas en conjuntos convexos alcanzan sus máximos en el límite. A través de este simple principio, si $R$ varía sobre un triángulo $ABC$ tenemos

$$ RA+RB+RC \leq AB+AC+BC-\min(AB,AC,BC).$$