Me gustaría empezar con una descripción matemática del siguiente proceso. Al final de mi puesto le daré una explicación cualitativa.
Descripción metereológica del movimiento en un campo frecuentemente oscilante
En realidad, el problema que usted declara puede generalizarse a lo siguiente:
Supongamos que tienes una partícula que se mueve en algún campo de fuerza que oscila frecuentemente en el tiempo. Uno puede escribir la fuerza, actuando sobre la partícula de la siguiente manera: $$ \mathbf {F}( \mathbf {r},t)= \mathbf {f( \mathbf {r})} \cdot \cos ( \omega t)$$ Obsérvese que la amplitud de las oscilaciones depende en la posición - en es una característica clave. La pregunta es averiguar cómo es el movimiento de esa partícula, si la frecuencia de las oscilaciones es muy grande.
La teoría del movimiento en tal campo es un problema bien conocido (y resuelto). La solución detallada se puede encontrar en el siguiente libro: Landau, Lifshitz: Curso de Física Teórica, Volumen I "Mecánica" en el párrafo 30. No le contaré los cálculos del libro en detalle, pero diré varias palabras sobre el resultado obtenido allí. Usando algunas matemáticas difíciles los autores encuentran ecuaciones "promediadas" de movimiento para una partícula en este caso. Estas ecuaciones no contienen términos de rápida oscilación.
Para ser más exactos, se demuestra que en lugar de un campo oscilante se puede introducir un campo constante (en el tiempo) con un potencial efectivo: $$U_{eff}= \frac { \mathbf {f}^2( \mathbf {r})}{4m \omega }$$ Aquí $ \mathbf {f( \mathbf {r})}$ es la amplitud de la fuerza oscilante. Como pueden ver, si $ \mathbf {f( \mathbf {r})}=const$ este potencial efectivo es constante. Por lo tanto, no hay ninguna fuerza en promedio, que actúe sobre la partícula. Si la amplitud no es constante, entonces el potencial de esta fuerza es mínimo, hubo $ \mathbf {f( \mathbf {r})}^2$ es mínima. Por lo tanto, este las fuerzas empujan a la partícula al lugar, donde la amplitud es baja.
En su caso, este campo de fuerza está asociado a la presión. Su problema puede ser tratado en una dimensión: hay presión $p(x,t)=p_0 \sin (kx) \cos ( \omega t)$ que resulta en la fuerza $F(x,t)=-V \frac { \partial p(x,t)}{ \partial x}=-Vkp_0 \cos (kx) \cos ( \omega t)$ (esta es la ley de Arquímedes), donde $V$ es el volumen de una gota. El potencial efectivo, inducido por el campo de presión es: $$U_{eff}= \frac {V^2k^2p_0^2 \cos ^2(kx)}{4m \omega }$$ Así que la energía potencial total (incluyendo la gravitacional) es: $$U=-mgx+ \frac {V^2k^2p_0^2 \cos ^2(kx)}{4m \omega }$$ Si la amplitud de la presión es lo suficientemente grande, hay puntos de mínimos locales - posiciones de equilibrio para las gotas! (en la imagen se puede ver una ilustración de este hecho; es un potencial enérgio contra la distancia en algunas unidades; la pendiente negativa media se asocia con la gravedad y los mínimos se asocian con la presión)
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Explicación cualitativa
Pero aún así: ¿cómo se puede entender este resultado cualitativamente? La explicación es la siguiente:
Supongamos que tu partícula se mueve en un campo de presión vibratorio de alguna manera. Está bastante claro que se puede expresar la posición de la partícula (en función del tiempo) de la siguiente manera: $x(t)=X(t)+ \delta x(t)$ donde $X(t)$ es una función suave y $ \delta x(t)=-A \cos ( \omega t)$ es una pequeña desviación que ocurre en antiphase a las oscilaciones del campo (como siempre para las oscilaciones excitadas sin fricción). Imagine que su partícula está ahora en la región de la fuerza oscilante no constante (en el espacio) y la amplitud de estas oscilaciones es mayor delante de la partícula y menor detrás de ella. Como se mencionó, $ \delta x(t)$ ocurre en antifase a campo externo, por lo tanto, cuando $ \delta x>0$ la partícula es empujada hacia atrás y cuando $ \delta x<0$ la partícula es empujada al frente. Sin embargo, el campo externo es mayor en la región donde $ \delta x>0$ y bajar donde $ \delta x<0$ por lo que el impulso total durante el período se dirigirá en la región de las oscilaciones "débiles".
Eso es todo. Si quieres, puedo explicarte algo con más detalle.
P.D: Perdón por mi lenguaje, si fue un problema.
