¿Cómo obtener la distancia cuando la aceleración no es constante?

Question

Tengo experiencia en cálculo, pero en realidad no saben nada acerca de la física. Perdóname si esta es realmente una pregunta básica.

La ecuación para la distancia de una aceleración de objeto con aceleración constante es:

$$d=ut +\frac{1}{2}at^2$$

que también puede ser expresada

$$d=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}t+\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}\frac{t^2}{2}$$

(donde x(t) es la posición del objeto en el tiempo t)

Eso está bien para un canonball o algo por el estilo, pero ¿qué pasa con un coche acelerar de 0 a velocidad de crucero? La aceleración es, obviamente, no es constante, pero, ¿y el cambio en la aceleración? Es constante? Sospecho que no. Y entonces ¿qué pasa con el cambio en el cambio de la aceleración, etc. etc.? En otras palabras, ¿cómo hace uno para saber cuántos términos adicionales para agregar en la serie?

$$d=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}t+\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}\frac{t^2}{2}+\frac{\mathrm{d^3}x}{\mathrm{d}t^3}\frac{t^3}{3}+\frac{\mathrm{d^4}x}{\mathrm{d}t^4}\frac{t^4}{4}\cdot etc. \cdot ?$$

Answer 1

Hay tres casos aquí:

1. La aceleración es una función del tiempo $a(t)$. Entonces, la velocidad es $$v(t)=\int a(t)\,{\rm d}t$$ y la posición como función del tiempo $$x(t)=\int v(t)\,{\rm d}t$$ La distancia se calcula a partir de $x(t)$.

2. La aceleración es función de la posición $a(x)$. Entonces la velocidad como una función de la posición que se $$ \frac{1}{2}v(x)^2 = \int a(x)\,{\rm d}x$$ y el tiempo como una función de la posición $$ t(x) = \int \frac{1}{v(x)}\,{\rm d}x $$ que necesita para estar de vuelta-resuelto por $x(t)$.

3. Por último, la aceleración es una función de la velocidad de $a(v)$. Entonces el tiempo como una función de la velocidad con nosotros $$ t(v) = \int \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v $$ y la posición como una función de la velocidad es $$ x(v) = \int \frac{v}{a(v)}\,{\rm d}v $$ que necesidad de estar de vuelta-resuelto por $x(v(t))$

Ejemplo 1

$ a(t) = -100 \sin(10 t)$ , $x(0)=0$ $v(0)=10$ $$ v(t) = \int -100\sin(10 t)\,{\rm d}t = 10\,\cos(10 t) $$ $$ x(t) = \int 10\cos(10 t)\,{\rm d}t= \sin(10 t)$$

Ejemplo 2

$ a(x) = -100 x$ , $x(0)=0$ $v(0)=10$ $$ \frac{1}{2}v(x)^2 = \int -100 x {\rm d}x = 50 (1-x^2) $$ $$ v(x) = 10 \sqrt{\left(1-x^2\right)} $$ $$ t(x) = \int \frac{1}{10 \sqrt{\left(1-x^2\right)}}\,{\rm d}x = \frac{\sin^{-1}(x)}{10} $$ $$ x(t) = \sin(10 t) $$

Ejemplo 3

$ a(v) = 100 - 5 v $ , $x(0)=0$ $v(0)=10$ $$t(v) = \int \frac{1}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = -\frac{1}{5}\ln{ \left( \frac{20-v}{10} \right) } $$ $$x(v) = \int \frac{v}{100 - 5 v}\,{\rm d}v = 2-\frac{v}{5}-4 \ln{\left(\frac{20-v}{10}\right)} $$ con la solución de $v(t) = 20-10 \hat{e}^{-5 t}$ $x(v(t)) = 2 \hat{e}^{-5 t}+20 t-2 $

Answer 2

Técnicamente, la ecuación

$$d = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}t + \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\frac{t^2}{2}$$

no es derecho. En cambio, para la aceleración constante, usted necesita

$$d = \left(\left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_0\right) t + \left(\left.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\right|_0\right) \frac{t^2}{2}$$

En otras palabras, una cantidad igual a $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ cambios en el tiempo, pero desea utilizar la velocidad inicial solamente. Yo creo que esto es lo que, probablemente, la intención de comenzar con, sin embargo.

Si quería resolver el problema puramente kinematically, entonces usted podría intentar expandir la posición en una serie de Taylor como lo escribió en su respuesta. Sin embargo, esto sólo funciona si la función es igual a su serie de Taylor. Para funciones simples, como las exponenciales y trigonométricas funciones esto es cierto, pero para una persona que conduce un coche no es. Si una función es igual a su serie de Taylor en todas partes, si usted observa su posición sobre cualquier intervalo finito de tiempo, no importa cuán corto, completamente puede determinar lo que el coche va a hacer en el futuro. Esto no es realista.

En su lugar, usted va a querer manera de determinar la velocidad o la aceleración como función del tiempo o la posición. En física, es común el ser capaz de determinar la aceleración como función de la posición. La razón es que la aceleración viene a partir de la ecuación $$F=ma$$ así que si usted puede determinar las fuerzas presentes, usted sabe que la aceleración, y derivadas de orden superior no son necesarias.

Si conoce la velocidad como una función del tiempo, simplemente puede integrar para encontrar el desplazamiento. $$d(t) = \int_{t_0}^t v(t') \mathrm{d}t'$$

Si conoce la aceleración como función del tiempo, se puede integrar de que también, aunque esta situación es menos común.

$$d(t) = v_0(t - t_0) + t\int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t' - \int_{t_0}^t t'a(t')\mathrm{d}t'$$

He encontrado esta expresión en busca de algo cuya derivada con respecto al tiempo fue la velocidad

$$v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t')\mathrm{d}t'$$

Si conoce la velocidad como una función de la posición, tiene la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x)$$

que se puede resolver por separación de variables.

Si conoce la aceleración como función de la posición, tiene la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = a(x)$$

lo cual no es siempre fácil de resolver. En situaciones reales, la aceleración dependerá no sólo en el objeto propio de la posición, sino también en las posiciones de las cosas que está interactuando. Esto le da a ecuaciones diferenciales acopladas, que puede ser simplificado en especial de los casos, pero con frecuencia sólo puede resolverse numéricamente.

Answer 3

Puedes seguir añadiendo las derivadas de orden mayor, hasta convertirse en minúscula. Un conveniente punto de entrada a este tema sería el artículo de la Wikipedia Tirón (la física).

Tenga en cuenta que cuando usted está en un coche, idiota sólo es de relevancia durante el tiempo cuando el pedal del acelerador está realmente en movimiento, a una aproximación de primer orden.

Actualización: parece una pregunta con una gran relevancia a la suya que se planteó hace unas horas en las matemáticas.se - ¿Qué es un ejemplo de una solicitud de orden superior derivadas ($y^{(n)}$, $n≥4$)?. Arturo respuesta se expande en más de derivados en la cinemática (movimiento de aplastamiento!), mientras que Greg la respuesta incluye una fuente de tirón en la conducción que no tuvo en cuenta (dirección).

Answer 4

Me parece que ayuda mucho a entender el fenómeno fundamental. Usted tiene la ecuación correcta, sino que la consideran la derivación:

Comenzamos con la segunda ley de Newton,

${\bf F} = \dot{\bf p}$

donde ${\bf F}$ es el vector de fuerza y $\dot{\bf p}$ es la derivada con respecto al tiempo del momento. La ecuación que dio se obtiene suponiendo una fuerza constante y la integración de dos veces con respecto al tiempo. Es decir,

$\frac{d {\bf F}}{dt} = 0 \implies \iint_0 ^t {\bf F} dt^2 = \frac{{\bf F} t^2}{2} + C_1 t + C_0$

así que

$x = \frac{{\bf F} t^2}{2m} + C_1 t + C_0$

con las constantes determinadas por las condiciones iniciales y las leyes de la conservación. Usted dijo que usted tiene un decente de fondo en el cálculo, por lo tanto, si usted sabe que la ecuación para la fuerza, usted debería ser capaz de sustituir a la ley de Newton e integrar para obtener su solución.

EJEMPLO

Asumir que todo está en la $\hat x$ dirección para su comodidad. Si tomamos una fuerza simple como

${\bf F}(t) = \sin(\frac{\pi t}{t_{max}} - \frac{\pi}{2}) + F_{max}$

a continuación,

$\int_0 ^t {\bf F}(t) dt = F_{max} t-\frac{t_{max}}{\pi} \sin(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1$

y,

$\iint_0 ^t {\bf F}(t) dt^2 = \frac{F_{max} t^2}{2}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

El trabajo de Newton la ecuación de esta da

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + C_1 t + C_0$

A partir de las condiciones iniciales y las leyes de la conservación vemos que

$C_0 = x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$

y

$C_1 = v_0$

resultando en

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) + v_0 t + x_0 - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

En el caso sencillo de cero de la velocidad inicial y la posición,

$x = \frac{F_{max} t^2}{2m}+\frac{t_{max}^2}{\pi^2 m} \cos(\frac{\pi t}{t_{max}}) - \frac{t_{max}^2}{\pi^2 m}$.

Answer 5

Se trata de series de Taylor. Lo completo es:

$$ x(t) = x(0) + x'(0) t + x''(0) {t^2\over 2} + x^{(3)}(0) {t^3\over 6} + x^{(4)}(0) {t^4\over 4!} ...$$

Cada derivado de orden superior agrega un término y el término n-ésimo es dividido por $n!$. Se puede ver que esto es la única expresión teniendo en cuenta que si se diferenciar este n veces y enchufe en x = 0, obtienes la misma respuesta en ambos lados. Para probar rigurosamente no es duro, pero requiere un buen límite en el tamaño de la n-ésima derivada en un intervalo.