La universalidad de zeta - y L-funciones

Question

Voronins Universalidad Teorema (de la de Riemann zeta Función) según la Wikipedia: Vamos a $U$ ser un subconjunto compacto de la "crítica de la mitad-de la tira" $\{s\in\mathbb{C}:\frac{1}{2}<Re(s)<1\}$ comunicado con el complemento. Deje que $f:U \rightarrow\mathbb{C}$ ser continua y no desapareciendo en $U$ y holomorphic en $U^{int}$. Entonces $\forall\varepsilon >0$ $\exists t=t(\varepsilon)$ $\forall s\U: |\zeta(s+)-f(s)|<\varepsilon $.

(Q1) Es esta la declaración exacta de Voronins Universalidad Teorema? Si es así, ¿hay alguna (reciente) generalizaciones de esta declaración con respecto a, digamos, la forma de los $U$ o de las condiciones en $f$ ? (Si no me equivoco, el teorema se remonta a 1975.)

(Q2) Históricamente, fueron la de Riemann zeta función de Dirichlet y L-funciones de los primeros ejemplos de funciones en el plano complejo con tal de "universalidad"? Hay ejemplos de funciones (en el plano complejo) con propiedades más allá de la teoría de la zeta - y L-funciones?

(T3) ¿hay alguna conocida general argumento de por qué tales funciones (en $\mathbb{C}$) "debe" existir, es decir, en el sentido de un no-constructiva de la prueba de la existencia? (con Riemann zeta función de ser considerados como una prueba de la existencia de la construcción).

(P4) Se sabe algo de la estructura de la clase de funciones con la universalidad de la propiedad, por ejemplo, en algunas dada la tira en el plano complejo?

(P5) hay ejemplos similares cuando se trata de con $C^r$-funciones de algunos subconjunto de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$ ?

Gracias de antemano y Feliz Año Nuevo!

Answer 1

Ya que, creo, Jonas Meyer proporcionado una respuesta a Q1, déjenme decirles acerca de otras cuestiones: El concepto de universalidad es mucho más antiguo. De hecho, fue introducido por Birkhoff, en el caso de que para la totalidad de las funciones, en 1929 (y que es la razón por la universal funciones son a veces llamados Birkhoff de funciones) "Demostración d'un theoreme elementaire sur les fonctions entieres." y por Heins, en el caso de los delimitada holomorphic en la unidad de disco, en 1955.

Una posible referencia es "Universal funciones de varias variables complejas" del P. S. Chee.

Answer 2

Q1) se Ve bien para mí :-)

Q2) Sí, zeta y de Dirichlet L-funciones vino primero. Hay ejemplos, creo que cualquier función de la Serlberg clase satisface la universalidad. Hay una gran conjetura de Linnik para el efecto de que una gran cantidad de Dirichlet de la serie satisfacer la universalidad (no recuerdo exactamente conjetura).

Q3) Sí, aquí es la idea general. Para demostrar la universalidad de $\zeta(s)$ a probar que (fijo $\sigma$) la tupla $(\zeta(\sigma + i t), \zeta'(\sigma + i t), ..., \zeta^{(k)}(\sigma + i t))$ es denso en $\mathbb{C}^{k}$. Así, dada una analítica de $f$, se puede aproximar la primera de $k$ en términos de la expansión en series de Taylor de $f(s) de dólares por los primeros $k$ términos de la expansión de Taylor de $\zeta(s)$ cuando $s$ es cercano a los $\sigma + i en T$ $T$ muy grande. Así, con esta aproximación se hizo esperar que $|f(s) - \zeta(s)| $ es uniformemente pequeñas para $s$ $\sigma + i en T$ $T$ muy grande. Por supuesto esto no es todo el argumento, porque no uso el no-fuga de $f$, pero esta es la idea esencial. Así que en general necesita de la articulación de la densidad de los derivados de su función de demostrar la universalidad de ella (pero usted debe buscar en Matsumoto de la encuesta :-))

T4) Podría ser muy interesante! Es la primera vez que escucho la pregunta... Pero recuerda: yo no soy un experto en la universalidad!

Creo que la gente en el campo (al menos en parte) a trabajar en un efectivo de la versión de universalidad (he.e dado $\varepsilon$ cómo $T = T(\varepsilon)$ debe tomar? Por supuesto, "lo suficientemente grande", pero queremos saber $T$ explícitamente en términos de $\varepsilon$). Como un tema de investigación creo que es algo que es posible trabajar muy rápido (yo.e sin mucha preparación).

Answer 3

Para (T4): yo no soy un especialista en el campo de funciones universales, pero creo que lo que se loooking para que más bien son colectores de funciones universales. Intente buscar en google para los colectores de Birkhoff-funciones universales. Definitivamente hay un montón de interesantes resultados en ese tema.