Sea conjunto de $S$ un conjunto de números reales. Se establece un $p∈S$ a interior punto de $S$ siempre que existe un $δ>0$ tal que $(p-δ,p+δ)⊆S$. El conjunto de $S$ se dice que es un conjunto abierto, si cada elemento de $S$ es un punto interior.
Cómo puedo probar
Conjunto de $S$ es abierto si y sólo si su complemento es cerrado.
Alternativamente, un conjunto $X$ es cerrado si cada punto límite de $X$ es un punto de $X$. Yo uso $S$ a representar un conjunto dado, y $S^c$ para denotar el complemento de $S$.
Así, en primer lugar supongamos que $S^c$ es cerrado. Elija $x \in S$. A continuación,$x\notin S^c$, e $x$ no es un punto límite de $S^c$, debido a $S^c$ ya contiene toda su límite de puntos, y $x \notin S^c$. De modo que existe una vecindad $N$ $x$ tal que $S^c \cap N$ está vacía. Que el vecindario $N$ tal que $\exists \delta$, de modo que $N = (x - \delta, x + \delta) \subseteq S$. Por lo tanto $x$ es un punto interior de a $S$, y desde $x$ se ha elegido arbitrariamente, cada $x \in S$ es un punto interior de a $S$. Por definición, si cada punto de $S$ es un punto interior de a $S$, está abierto. Por lo tanto $S$ es abierto si $S^c$ es cerrado.
Siguiente, supongamos $S$ está abierto. Desde $S$ es abierto, cada punto en $S$ es un punto interior de a $S$. Deje $x$ ser cualquier punto límite de $S^c$. A continuación, en cada barrio de $x$ contiene un punto en $S^c$, y por lo $x$ no es un punto interior de a $S$. Por lo tanto debe seguir que ese $x \in S^c$. Así, cada punto límite de $S^c$ es un punto en $S^c$. Y por la definición de un conjunto cerrado, se sigue que $S^c$ es cerrado, si $S$ está abierto.
Asumiendo la definición de un conjunto $A$ cerrados es que cada secuencia convergente en $A$ converge a un punto límite en $A$, he aquí un esbozo de la prueba:
En primer lugar, es más fácil probar que un conjunto $S$ no es abierto si y sólo si su cumplido no está cerrado.
Suponga $S$ no está abierto. Entonces, existe algún punto de $s \in S$ que no es un punto interior de a $S$. Esto significa que por cada $\delta > 0$, hay un punto en $(s - \delta, s + \delta)$ que no está en $S$, por lo tanto es en el elogio de la $S$. Así que algunos de secuencia en el elogio de la $S$ converge a $s$ que no está en el elogio de la $S$, de ahí el elogio de la $S$ no está cerrado.
Supongamos ahora el elogio de la $S$ no está cerrado. Esto significa que hay alguna secuencia ${s_n}$ $S$ que converge a $s$ no en el elogio de la $S$. Por lo $s$$S$, y desde ${s_n}$ converge a $s$, para cada $\delta > 0$, hay algunos $s_n \in (s - \delta, s + \delta)$. Por lo $s$ no es un punto interior de a $S$, por lo tanto $S$ no está abierto.
La primera dirección: tomar una serie convergente en el complemento. Si no converge en el complemento, que este punto no es punto interno en el conjunto original.
La otra dirección: Si el conjunto original tiene un punto que no es interno, entonces se puede construir una serie en el complemento, que converge al punto interno.
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