Justificación del derivado formal

Question

no estoy teniendo el siguiente problema y hasta ahora no he encontrado nada en la literatura sobre este.

$\Phi\in C^1(\overline{\Omega}\times[0,1])$ $\Phi'(x,0)=\Phi'(x,1)=\Phi(x,0)=0$ por cada $x\in\Omega$ donde $\Omega$ es un dominio acotado y $'$ denota la derivada de w.r.t. la segunda variable. Además $\Phi(x,s)$ es el aumento de fof fija $x$$\Phi'(x,s)>0$. Supongamos ahora, que no es$s\in L^\infty(\Omega,[0,1])$$x \mapsto \Phi(x,s(x))$$ H^1(\Omega)$. Debido a la degeneración de $\Phi$ no conseguimos $H^1$ estimaciones en $s$. Sin embargo, con una adecuada truncamientos se obtiene que el $[\max(\min(1-\varepsilon,s),\varepsilon)]\in H^1(\Omega)$. I. e. de alguna manera, $s$ tiene una pendiente cuando la distancia desde el set donde $s=0$ o $s=1$. Es posible mostrar algunas de las identidades de los límites de $\varepsilon \to 0$.

Para cualquier positivos $\varepsilon$ uno puede mostrar

$$ \mathbf{1}_{\{\varepsilon <s(x) <1-\varepsilon\}}(\nabla[\Phi(x,s(x))] -\nabla_x \Phi(x,s)) =\Phi'(x,s(x))\nabla [\max(\min(1-\varepsilon,s(x)),\varepsilon)] \tag{*}$$ for a.e. $x\in\Omega$, donde $\nabla_x$ es el gradiente con respecto a la primera coordenada.

El objetivo es permitir que la $\varepsilon$ pase a cero. Se obtiene pointwise convergencia en el set $\{x: 0<s(x)<1\}$ y el lado izquierdo es integrable y domina el lado derecho. En particular, en todos los conjuntos de $\{x: \varepsilon <s(x)<1-\varepsilon\}$ la identidad de $(*)$ mantiene. En el set $\{x:s(x)=0\}$ la identidad es clara desde $\Phi(x,0)=\Phi'(x,0)=0$ y ya por Stampacchia del lexema $\nabla[\Phi(x,s(x))]=0$.e. en el set $\{x: \Phi(x,s)=\Phi(x,0)=0\}=\{x : s(x)=0\}$.

En el conjunto donde $\{x: s(x)=1\}$ uno obtiene que el pointwise límite en el lado derecho es cero. Sin embargo, en ese conjunto $\nabla_x \Phi(x,s)\neq 0$ unles $\Phi(x,1)$ es constante. Por lo tanto, para la igualdad en el límite, se requiere que $\nabla [\Phi(x,s)]=\nabla_x \Phi(x,s)$.e. en el set $\{x:s(x)=1\}$. Que tiene formalmente, pero no veo cómo la prueba esta con rigor.

No puede ser que alguien vea una idea de qué prueba esto? Cualquier comentario se agradece

Edit 1: me refería a el acotamiento de la mano derecha, ya que quiero mostrar que la convergencia tiene, de hecho, en $L^2(\Omega)$

Edit 2: lo que uno podría pedir esencialmente: Cuando es permitido comparar débil derivados pointwise, es decir, es posible decir que en el conjunto de $\{x:s(x)=1\}$ tiene $\nabla \Phi(x,s)=\nabla\Phi(x,1)=\nabla_x\Phi(x,1)$. Sin embargo, tomando la unión a lo largo de todos los conjuntos de nivel entre cero y uno nunca se podría conseguir una contribución de $\nabla s$.

Edit: se ha Corregido la pregunta.

Edición de $L^2$ convergencia en el caso sin $x$-dependencia y también se actualiza $(*)$ disculpa las molestias.

Sin embargo, considere la posibilidad de $(*)$ sin $\nabla_x \Phi$ plazo. Primero de todo, se obtiene la obvia enlazado $|\nabla \Phi(s)| \geq |\Phi'(s(x)) \nabla[\max(\min(1-\varepsilon,s(x)),\varepsilon)]|$, debido básicamente a $(*)$ e incrementar el lado izquierdo, donde el lado derecho es cero. Sin embargo, en el conjunto de $\{0<s(x)<1\}$ nos trivialmente obtener pointwise convergencia deseada de límite. En los conjuntos donde$s(x)=0$$s(x)=1$, nos encontramos con $\Phi'(s(x)) \nabla[\max(\min(1-\varepsilon,s(x)),\varepsilon)]=0$. Además, Stampacchia del lema nos dice, que un.e. en los conjuntos donde $\{\Phi(s)=\Phi(1)\}$ $\{\Phi(s)=\Phi(0)\}$ nos encontramos con $\nabla \Phi(s)=0$.e. Debido a la monotonía de $\Phi$. Estos conjuntos coinciden con $\{s=1\}$ $\{s=0\}$ respectivamente. Por lo tanto, la pointwise convergencia tiene una.e. en $\Omega$ y con Lebesgue del teorema obtenemos una fuerte convergencia.

Esta prueba falla si $\Phi$ $x$- dependiente. Lo siento por las molestias con $(*)$. Espero que la notación de los conjuntos no era taaan descuidado.

Answer 1

Creo que puedo construir un contraejemplo. Elija $\Omega = (0,1)$, e $\Phi(x,t) = \phi(t)$ lo suficientemente suave que $\phi(t)$ obedece a la obligada: $$ \phi'(t) \leq C t. $$ por lo suficientemente pequeño $t$. (Y, por supuesto, que $\phi(t)$ satisface $\phi'(1) = 0$)

Ahora elija una función de $g_\alpha(x)$ con apoyo en $(-1,1)$, y suave por fuera de $0$, de tal manera que para $|x|<1/2$, $g_\alpha(x) = 1 - |x|^\alpha$. Observe que $\alpha = 1/2$ es la caso límite de $g_\alpha \in H^1$. De hecho, para $\alpha > 1/2$, $g_\alpha$ satisface la estimación: $$ \int_{-1}^1 |\partial_x g_\alpha(y)|^2 \,dy \geq \int_{0}^{1/2} \alpha^2 y^{2\alpha - 2}\,dy = \frac{\alpha^2}{2\alpha - 1} \left(\frac{1}{2}\right)^{2\alpha-1}. $$
Ya podemos ver que no hay ninguna esperanza de una estimación de la forma $$ \|\nabla s(x)\|_{L^2} \lesssim \|\nabla (\Phi(x,s(x))\|_{L^2}. $$ De hecho, vamos a $\alpha_k = 1/2 + 2^{-k}$$s_k = 2^{-k} g_{\alpha_k}(x)$. A continuación, por el cálculo anterior, $$ \|\nabla s_k(x)\|_{L^2} \gtrsim 2^k, $$ pero desde $\nabla \Phi(x,s(x)) = \phi'(s(x)) \nabla s(x)$ (pointwise una.e), y $\phi'(s(x)) \leq 2^{-k}$, tenemos $$ \|\nabla (\Phi(x,s(x)))\|_{L^2} \sim 1. $$ Este es el principal obstáculo para uniformes $L^2$ convergencia, en las siguientes sólo se construye un explícito ejemplo de uso de estas ideas.

Estamos dispuestos a construir el contraejemplo. Conjunto $$ s(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}g_{\alpha_k}(2^{k+2}(x - 2^{-k})) = \sum_{k=1}^\infty h_k(x). $$ Que es una secuencia de aristas disjuntas $h_k(x)$ con apoyo en $(2^{-k} - 2^{-k-2}, 2^{-k} + 2^{-k-2})$, e $\alpha_k$ pronto será elegido. De hecho, si $\alpha_k > 1/2$ decae a $1/2$ con la suficiente rapidez, $s(x)\notin H^1$, desde $$ \int |\partial_x h_k(y)|^2 \,dy = \int_{2^{-k} - 2^{-k-2}}^{2^{-k} + 2^{-k-2}} \frac{1}{2^k} |\partial_x (g_{\alpha_k}(2^{k+2}(y - 2^{-k})))|^2 \, dy \geq 2^{-k} \int_{-1/2}^{1/2} (\alpha_k)^2 |y|^{2\alpha_k - 1}\,dy. $$ A partir de este y la estimación anterior, $\alpha_k = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{k+1}}$ funcionaría de modo que $\|h_k\|_{H^1} \sim_k 1$. (Significa que está delimitada por encima y por debajo por una constante independiente de $k$.) Por otro lado, $\Phi(x,s(x))\in H^1$ desde $$ \int |\partial_x \Phi(y,s(y))|^2\,dy = \int |\phi'(s(y)) \partial_x s(y)|^2\,dy = \sum_k \int |\phi " (h_k(y)) \partial_x h_k(y)|^2\,dy $$ Desde $h_k(y) \leq 2^{-k}$, e $\phi'(t) \leq C t$, se puede estimar $$ \sum_k \int |\phi " (h_k(y)) \partial_x h_k(y)|^2\,dy \leq \sum_k \sup_k \|h_k\|_{H^1} 2^{-k} < \infty. $$

Incluso si he cometido un error en el cálculo, creo que la idea general que se realice una secuencia de pequeños y pequeñas cúspides, con unbounded $H^1$ norma, es correcta.