¿Cuál es la relación entre la integridad y la compacidad local?

Question

Por un lado, $\mathbb{Q}$ no es ni completa (como un espacio métrico) ni localmente compacto (como un espacio topológico). Por otro lado, $\mathbb{R}$ es completa y localmente compacto.

Mi pregunta es, ¿cuál es la relación entre la integridad y la compacidad local? por ejemplo, ¿una implica a la otra?

Answer 1

Tenga en cuenta que el espacio de Baire $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ (que es homeomórficos para el espacio de irrationals) es completamente metrizable espacio que no es localmente compacto (de hecho todos los subconjuntos compactos de $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ han vacío interior).

Mientras que localmente compacto métrica espacios, no puede ser completa (por ejemplo, como en el de Brad respuesta, la apertura de la unidad de intervalo de $(0,1)$ menor a la habitual métrica), estos espacios siempre será completamente metrizable. Hay al menos dos maneras de ver este resultado:

1. Cada localmente compacto espacio métrico será un subconjunto abierto de su finalización, y todos los G$_\delta$ subconjunto de un espacio métrico completo es completamente metrizable.
2. Cada localmente compacto completamente regular el espacio es Čech-completa (es decir, es un G$_\delta$ subconjunto de la Piedra-Čech (o cualquier otro) compactification), y un espacio métrico es completamente metrizable iff es Čech-completa.

Answer 2

No implica la otra. Además de los ejemplos que das, hay métrica espacios que están completas y no localmente compacto (por ejemplo, un infinito-dimensional espacio de Hilbert) y la métrica de los espacios localmente compactos y no completa (por ejemplo, el intervalo abierto $(0,1)$).