Cómo encontrar el ejemplo de esta $\left(\sup_{x\in R}|f'(x)|\right)^2=2\sup_{x\in R}|f(x)|\cdot\sup_{x\in R}|f''(x)|$

Question

Pregunta:

Encontrar un ejemplo de función $f$,$f\in C^2(R)$, y tal $$\left(\sup_{x\in R}|f'(x)|\right)^2=2\sup_{x\in R}|f(x)|\cdot\sup_{x\in R}|f''(x)|$$

Este problema es a partir de cuando puedo demostrar esta desigualdad

$$\left(\sup_{x\in R}|f'(x)|\right)^2\le 2\sup_{x\in R}|f(x)|\cdot\sup_{x\in R}|f''(x)|$$

puf: esta desigualdad he a$$f(x+y)=f(x)+f'(x)y+f''(\xi)\dfrac{y^2}{2}$$ $$f(x-y)=f(x)-f'(x)y+f''(\eta)\dfrac{y^2}{2}$$ entonces $$f(x+y)-f(x-y)=2f'(x)y+\left(f''(\xi)-f''(\eta)\right)\dfrac{y^2}{2}$$ entonces $$2y|f'(x)|=|f(x+y)-f(x-y)-(f''(\xi)-f''(\eta))\dfrac{y^2}{2}|\le 2a+by^2$$ así $$\sup_{x\in R}|f'(x)|\le\dfrac{a}{y}+\dfrac{by}{2}$$ Por El Hecho

Pero este problema de pedir la constante $2$ es mejor.así que creo que debemos encontrar un ejemplo,no puedo encontrar la función $f\in C^2(R)$

Answer 1

Para un entero $n\geq3$ consideramos $f_n(x)$ define de la siguiente manera: $$f_n(x)=\left\{\matriz{\frac{1}{2n}- \frac{1}{2} &\hbox{si}& x <-1\cr \frac{n}{6}(x+1)^3-\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}&\hbox{si}&-1< x <\frac{1}{n}-1 \cr \frac{x^2}{2}+\left(1-\frac{1}{2n}\right)x+\frac{1}{6n^2} &\hbox{si}& \frac{1}{n}-1< x <-\frac{1}{n}\cr -\frac{n x^3}{6}-\frac{x}{n}+x &\hbox{si}& -\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}\cr -\frac{x^2}{2}+\left(1-\frac{1}{2n}\right)x-\frac{1}{6n^2} &\hbox{si}&\frac{1}{n}<x <1-\frac{1}{n} \cr \frac{n}{6}(x-1)^3+\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}&\hbox{si}& 1-\frac{1}{n}<x<1\cr \frac{1}{2}-\frac{1}{2n}&\hbox{si}& x>1\cr }\right. $$ las funciones $f_n$, $f'_n$ y $f''_n$ está representado en la siguiente figura:

$\hspace{2cm}$

Es sencillo comprobar que $$\eqalign{\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\cr \sup_{x\in\mathbb{R}}|f'_n(x)|y=f'_n(0)=1-\frac{1}{n}\cr \sup_{x\in\mathbb{R}}|f"_n(x)|y=1 }$$ Así que si $c$ es una constante que satisface $$\left(\sup_{\mathbb{R}}|f'|\right)^2\leq c\sup_{\mathbb{R}}|f|\cdot \sup_{\mathbb{R}}|f''|$$ para cada delimitada la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tener delimitada segunda derivada, entonces, la aplicación de esta a $f_n$ vemos que $$\left(1-\frac{1}{n}\right)^2\leq c\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)$$ Dejando $n$ tienden a $+\infty$ obtenemos $c\geq 2$. Y sabemos que $c=2$ obras, por lo $2$ es la mejor constante.

Comentario 1. La secuencia de funciones de $(f_n)_n$ hace converger a una función que tiene un continuo derivado, pero no es un continuo de la segunda derivada.

Observación 2. Demostrando que $c=2$ es la mejor constante, no necesariamente significa que la tenemos que encontrar un ejemplo que da cuenta de la igualdad.