Encontrar una función suave menor que una función continua dada (positiva)

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad lisa ( $dim\ge 1$ ). Sea $f:M\to\mathbb{R}$ sea una función continua positiva. Demostrar que existe un mapa suave $g\in C^{\infty}(M)$ tal que $0<g<f$ .

Sabía que esto implicaría una partición de la unidad. Tomé una cubierta localmente finita de $M$ por conjuntos abiertos precompactos ${\bf U}=\{U_i\}_{i\in I}$ . Desde $f$ es continuo lo sé $f$ alcanza un mínimo en cada ${\rm cl}(U_i)$ , digamos que en $x_i$ y que este mínimo sigue siendo positivo. Así que definí los mapas $g_i: U_i\to\mathbb{R}$ dado como mapas constantes: $g_i(x)=\epsilon_i$ , donde $\epsilon_i$ se elige que sea $0<\epsilon_i<f(x_i)$ . Pero cada $x\in M$ sólo está contenida en un número finito de $U_i$ Así que definí $h(x)=\min{\{g_i(x)\;|\; x\in U_i\}}$ . Ahora tomo una partición de la unidad $\{\psi_i:M\to\mathbb{R}\}_{i\in I}$ subordinado a ${\bf U}$ . Mi idea es unir suavemente estos mapas constantes... pero no estoy seguro de qué hacer a partir de aquí. ¿Debo definir $g(x)=\sum_{i\in I}{\psi_i(x)\,h(x)}$ ? Sé que cada una de estas sumas será finita porque $supp(\psi_i)\subseteq U_i$ pero, ¿esta función hace realmente lo que yo quiero? Al principio pensé que lo haría, pero ahora sólo parece que estoy multiplicando por $1$ de una manera muy elegante...

Gracias por su ayuda

Answer 1

Haga no empezar por fijar una cubierta ${\bf U}=\{U_i\}_{i\in I}$ de $M$ ¡! Así es como se puede proceder.

Para cada $m\in M$ elegir un barrio abierto $ U_m$ de $m$ y una constante $\epsilon _m\gt0$ con $\epsilon_m \lt f$ en $ U_m$ .
Entonces elige una partición de la unidad $(\phi _m)_{m\in M}$ subordinado a la cobertura $\mathcal U=(U_m)_{m\in M}$ .
El mapa $g=\sum\limits_{m\in M} \epsilon_m \phi _m$ es de la clase $\mathcal C^\infty$ y satisface, como se requiere, $0\lt g\lt f$ . Eso es todo.

Advertencia Creo que la aparente dificultad de este ejercicio proviene de la idea errónea de que si se tiene una cubierta abierta $(U_i)_{i\in I}$ de una variedad paracompacta y se quiere una partición subordinada de la unidad $(\phi_i)_{i\in I}$ entonces hay que imponer algo a la cobertura, como que sea localmente finita o desnumerable, o a la $U_i$ como ser relativamente compacto.
En realidad, esto no es necesario en absoluto: el $\phi_i$ 's siempre existen son $\geq 0$ sus soportes forman una colección localmente finita de conjuntos cerrados $supp(\phi_i)\subset U_i$ [incluso si la cobertura inicial $(U_i)_{i\in I}$ fue $not$ localmente finito] y por supuesto $\sum\limits_{i\in I} \phi_i=1$ .
Este resultado, agradablemente general, se expone y demuestra correctamente en la obra de John M. Lee libro en la página 55.