Una pregunta de diferenciación consulta conceptual

Question

Tengo bastantes dudas sobre cómo tratar la diferenciación de funciones absolutas, y su continuidad.

Por ejemplo, la pregunta que me planteaba era la siguiente: $$ f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$$

Según yo, la ecuación es continuamente diferenciable en todas partes, dado que no hay ningún punto agudo en su gráfica. (La gráfica que he construido a continuación)

Aparentemente, sin embargo, la derivada tiene un punto de dicontinuidad en 0. (De acuerdo con las soluciones en mi conjunto de problemas). No puedo entender intuitivamente por qué sería eso.

Answer 1

No hay discontinuidad en cero, y la derivada es continua allí también. Pero para calcular la derivada en cero hay que dividir la función en dos dominios $x\le 0$ y $x\ge 0$ : \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1+x},&x\ge 0 \\ \frac{x}{1-x},&x<0.\end{cases} \end{equation*} Es fácil diferenciar $f$ lejos de cero, pero en cero debes calcular los límites de la izquierda y la derecha y demostrar que son iguales; si lo haces, verás que ambos son $1$ de modo que $f$ es diferenciable en $0$ y $f'(0) = 1$ .

Lo que es cierto, sin embargo (como se puede ver si se traza $f'(x)$ ) es que $f'(x)$ no es diferenciable en $0$ .

Answer 2

Su función viene dada por $$ f(x) = \begin{cases} \frac x{1+x} & x \ge 0 \\ \frac x{1-x} & x \le 0 \end{cases}. $$ $f$ es obviamente diferenciable en $\mathbf R\setminus \{0\}$ con $$ f'(x) = \begin{cases} \frac 1{(1+x)^2} & x >0 \\ \frac 1{(1-x)^2} & x < 0 \end{cases} $$ además $f_+'(0) = 1 = f_-'(0)$ Por lo tanto $f$ es continuamente diferenciable con $$ f'(x) = \begin{cases} \frac 1{(1+x)^2} & x \ge 0 \\ \frac 1{(1-x)^2} & x \le 0 \end{cases}. $$